Question

Сторона квадрата ABCD равна а .Через сторону АD проведена плоскость альфа на расстоянии а/2 от точки В.а)Найдите расстояние от точки С до пл. альфаб)покажите на рисунке ленейный угол двугранного угла BADM,M пренадлжит альфав)найдите sin угла между плосколсть квадрата и пл.альфа

Answer 1

всего две плоскости:плоскость квадрата и данная плоскость а.Расстояние от плоскости а до точки Р измеряют по перпендикуляру к плоскости. АВ=а-гипотинуза,ВР=а/2-катет,АР=а* соs 30 градусов-второй катет Угол равен 30 градусам т.к противоположный катет равен половине гипотинузы т.е ВР=АВ/2.Других двугранных углов не может быть ,т.к заданы всего две грани плоскости с линией ихпересечения АD.

Answer 2

а) Расстояние от точки С до плоскости α можно найти с помощью формулы для расстояния от точки до плоскости. В данном случае, расстояние d вычисляется как d = |a'x + b'y + c'z + d'| / √(a'^2 + b'^2 + c'^2), где a', b', c' - коэффициенты уравнения плоскости α, d' - константа этого уравнения, x, y, z - координаты точки С.

Для нахождения коэффициентов уравнения плоскости α, обратимся к условию задачи. Известно, что плоскость α проходит через точку D, которая лежит на стороне Ad. Так как сторона квадрата ABCD равна a, то сторона AB равна a/2. Расстояние от точки D до точки В равно a/2. Также известно, что плоскость α находится на расстоянии a/2 от точки В. Значит, перпендикуляр из точки В на плоскость α делит расстояние между В и D пополам. То есть, BD = a/4.

Таким образом, мы получили, что сторона AD делится перпендикуляром на отрезки BD и DA, причем BD = a/4. Тогда DA = AD - BD = a - a/4 = 3a/4.

Поэтому координаты точки D: D(0, 3a/4, 0).

Так как плоскость проходит через точки A, B и D, то мы можем найти уравнение этой плоскости с помощью формулы для плоскости, проходящей через 3 точки. Уравнение плоскости имеет вид ax + by + cz + d = 0, где a, b, c - коэффициенты, x, y, z - координаты точек, лежащих на плоскости, d - константа.

Подставим координаты точек A, B и D в уравнение плоскости:

a*(0) + b*(0) + c*(a) + d = 0, a*(0) + b*(a/2) + c*(0) + d = 0, a*(0) + b*(3a/4) + c*(0) + d = 0.

Отсюда получаем систему уравнений: c*a + d = 0, b*(a/2) + d = 0, b*(3a/4) + d = 0.

Можно заметить, что все коэффициенты a, b, c имеют общий множитель d, а также что среди первых двух уравнений арифметическая прогрессия с шагом a/2. Следовательно, можно сделать вывод, что и третье уравнение будет иметь вид b*(5a/4) + d = 0.

Так как скобка при d равна нулю, то d может быть выбрано любым значением. Возьмем, например, d = 1, чтобы упростить расчеты.

Теперь решим систему уравнений: c*a + d = 0, b*(a/2) + d = 0, b*(3a/4) + d = 0.

Подставим d = 1: c*a + 1 = 0, b*(a/2) + 1 = 0, b*(3a/4) + 1 = 0.

b*(a/2) + 1 = 0, следовательно, b = -2/a.

c*a + 1 = 0, следовательно, c = -1/a.

Таким образом, получаем уравнение плоскости α: -x/a - 2y/a + z + 1 = 0.

Теперь можем найти расстояние от точки C до плоскости α. У точки C координаты x, y и z будут такие, что x = a, y = 0, z = 0.

Подставим эти значения в уравнение плоскости α: -(a)/a - 2(0)/a + (0) + 1 = -1 + 1 = 0.

Расстояние от точки C до плоскости α равно 0.

б) Линейный угол двугранного угла BADM можно представить как угол между линиями, соединяющими вершины угла с общим ребром угла. Общим ребром угла является ребро AB. По условию задачи, это сторона квадрата. Найдем угол BADM на рисунке:

B ______ D | / | | / | | ϴ/ | | / |a A|/_______C

Поскольку AB - сторона квадрата, а AM и BM - диагонали квадрата, то угол ABM равен 45 градусов.

Линий на рисунке нету, но предполагается, что начертим линию BC, чтобы угол BAC прямой.

Угол BAC в данном случае равен 90°.

Таким образом, угол BADM на рисунке будет составным углом и будет равен сумме углов BAC и ABM: ϴ = 45° + 90° = 135°.

в) Для нахождения синуса угла между плоскостью квадрата и плоскостью α воспользуемся формулой для нахождения синуса угла между двумя плоскостями:

sin(α) = √((1 - cos^2(α))).

Где cos(α) = |N1 * N2| / (|N1| * |N2|), N1 - нормальный вектор плоскости, N2 - нормальный вектор плоскости α.

Для плоскости квадрата нормальный вектор будет (1, 0, 0), так как плоскость перпендикулярна оси x.

Для плоскости α нормальный вектор равен (-1/a, -2/a, 1), так как уравнение плоскости α имеет вид -x/a - 2y/a + z + 1 = 0 и коэффициенты при переменных являются координатами нормального вектора плоскости α.

Теперь можем найти cos(α): cos(α) = |N1 * N2| / (|N1| * |N2|) = |(1, 0, 0) * (-1/a, -2/a, 1)| / (√(1^2 + 0^2 + 0^2) * √((-1/a)^2 + (-2/a)^2 + 1^2)) = |-1/a| / (√1 * √(1/a^2 + 4/a^2 + 1)) = 1/a / (√(1 + 5/a^2)) = √5 / (a * √(1 + 5/a^2)).

Теперь можем найти sin(α): sin