Question

Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты А (−4; 1), В (−2; 4), С (1; 2).

Answer 1

$AB=\sqrt{(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2}$
$AB=\sqrt{(-2+4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{13} \\ BC=\sqrt{(1+2)^2+(2-4)^2}=\sqrt{13}$
AB=BC => равнобедренный

Формула Герона: $S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}, \\ p=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$

$AC=\sqrt{(1+4)^2+(2-1)^2} = \sqrt{26}$

S=6.5

Answer 2

Я могу помочь вам с вашим вопросом о треугольнике.

Чтобы доказать, что треугольник АВС равнобедренный, нам нужно показать, что две его стороны равны по длине. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

Подставляя координаты вершин треугольника, мы получаем:

$$AB=\sqrt{(-2-(-4))^2+(4-1)^2}=\sqrt{13}$$ $$BC=\sqrt{(1-(-2))^2+(2-4)^2}=\sqrt{13}$$ $$AC=\sqrt{(1-(-4))^2+(2-1)^2}=\sqrt{26}$$

Так как $AB=BC$, то треугольник АВС равнобедренный по определению.

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу Герона, которая гласит:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где $a$, $b$ и $c$ - стороны треугольника, а $p$ - полупериметр, то есть половина суммы сторон:

$$p=\frac{a+b+c}{2}$$

Подставляя значения сторон треугольника, мы получаем:

$$p=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{13}+\sqrt{26}}{2}=\frac{2\sqrt{13}+\sqrt{26}}{2}$$ $$S=\sqrt{\frac{2\sqrt{13}+\sqrt{26}}{2}\left(\frac{2\sqrt{13}+\sqrt{26}}{2}-\sqrt{13}\right)\left(\frac{2\sqrt{13}+\sqrt{26}}{2}-\sqrt{13}\right)\left(\frac{2\sqrt{13}+\sqrt{26}}{2}-\sqrt{26}\right)}$$

Упрощая, мы получаем:

$$S=\frac{\sqrt{13}}{4}\sqrt{13\sqrt{13}-26}$$

Это окончательный ответ для площади треугольника АВС. Надеюсь, это было полезно.