Question

2) В правильном тетраэдре DABC с ребром a точка О - центр треугольника ABC. a) Построить вектор DC+1/3(CA+CB) и найдите его длину. b) Найдите |DO-1/2DA|

Answer 1

А) Вектор СА+СВ=СF (диагональ параллелограмма, построенного на векторах СА и СВ).
CЕ=(1/2)*СF, так как точка Е - пересечение диагоналей параллелограмма.
СО=(2/3)*СЕ - так как точка О - центр правильного треугольника АВС, а
СЕ - медиана этого треугольника.
Значит СО=(2/3)*(1/2)*СF. Или СО=(1/3)(СА+СВ).
Следовательно, вектор DC+(1/3)*(CA+CB)=DO.
Вектор DO - это высота тетраэдра.
СО=(2/3)*СЕ =√(CВ²-ВЕ²)=√(a²-a²/4)=a√3/3.
DO=√(DC²-CO²)=√(a²-a²/3)=a√(2/3) = (a*√6)/3. Это ответ.

б) Вектор DO-(1/2)*DA - это вектор GO, так как для получения вектора разности (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом — конец вектора (a) (уменьшаемое).
Модуль вектора GO - это его длина. ОG - медиана в прямоугольном треугольнике DOA, проведенная из прямого угла. Следовательно, GO=(1/2)*AD (половина гипотенузы) или GO=a/2.
Ответ: |DO-(1/2)*DA|=a/2.

Answer 2

a) Чтобы построить вектор dc, нам нужно найти векторы ca и cb, и затем сложить их, умножив на 1/3:

ca = a - c cb = b - c

Таким образом, dc = (1/3)(ca + cb)

b) Чтобы найти длину вектора dc, мы можем использовать формулу для длины вектора, которая в нашем случае выглядит следующим образом:

|dc| = √(dc · dc)

где · обозначает скалярное произведение векторов.

Теперь, чтобы вычислить |dc|, мы должны сначала посчитать скалярное произведение dc · dc:

dc · dc = (1/3)(ca + cb) · (1/3)(ca + cb)

Так как векторы ca и cb суть разности точек, мы можем представить их как сумму векторов:

dc · dc = (1/3)(a - c) · (1/3)(a - c) + (1/3)(b - c) · (1/3)(b - c)

Далее раскрываем скобки и упрощаем:

dc · dc = (1/9)(a - c) · (a - c) + (1/9)(b - c) · (b - c)

dc · dc = (1/9)(a · a - 2a · c + c · c) + (1/9)(b · b - 2b · c + c · c)

dc · dc = (1/9)(|a|^2 - 2a · c + |c|^2) + (1/9)(|b|^2 - 2b · c + |c|^2)

dc · dc = (1/9)(|a|^2 + |b|^2 + 2|c|^2 - 2(a · c + b · c))

Теперь мы можем найти |dc|, применяя формулу для длины вектора:

|dc| = √((1/9)(|a|^2 + |b|^2 + 2|c|^2 - 2(a · c + b · c)))

c) Чтобы найти |do-1/2da|, мы должны сначала найти вектор do и вектор da.

do = o - d da = a - d

Затем мы можем вычислить |do-1/2da|, используя формулу для длины вектора:

|do-1/2da| = √((do - (1/2)da) · (do - (1/2)da))

Раскрываем скобки:

|do-1/2da| = √((o - d - (1/2)(a - d)) · (o - d - (1/2)(a - d)))

|do-1/2da| = √((o - (3/2)d + (1/2)a) · (o - (3/2)d + (1/2)a))

На этом этапе вычисление дальше проблематично, так как неизвестны точки о, d и a. Для продолжения решения необходимо знать значения этих точек.