Question

Докажите что сумма расстояний от точки на основании равнобедреного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки

Answer 1

Ответ смотри во вложении

Answer 2

Предположим, у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть M — точка на основании BC. Нам нужно доказать, что сумма расстояний от точки M до боковых сторон AB и AC не зависит от положения точки M.

Обозначим расстояния от точки M до сторон AB и AC как d1 и d2 соответственно.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть точка M лежит на середине основания BC. Тогда AM будет медианой треугольника ABC, и мы знаем, что медиана делит треугольник на два равных треугольника. Следовательно, AM равно половине основания BC, т.е., AM = BM = CM.

2. Пусть точка M лежит в произвольном месте на отрезке BC. Проведем высоту CH из вершины C на сторону AB. Теперь у нас есть два треугольника AMC и CHB.

Так как треугольник AMC равнобедренный, AM = CM. Треугольник CHB также равнобедренный, так как у нас есть две равные стороны CB и CH. Таким образом, BH = CH.

Теперь давайте рассмотрим сумму d1 + d2:

d1 + d2 = AM + BH = AM + CH = CM + CH.

Но мы знаем, что AM = CM, поэтому:

d1 + d2 = CM + CH = CH + CM.

Таким образом, сумма расстояний d1 и d2 не зависит от положения точки M на отрезке BC. Мы это доказали, рассматривая два случая и используя свойства равнобедренных треугольников.