Question

В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равна 5, перпендикулярна основаниям AD и BC, сумма острых углов А и С равна 90 градусов. Найдите длину меньшего основания трапеции, если большая диагональ равна 13.

Answer 1

Обозначим точку пересечения диагоналей  $O$ ,  треугольники $BOC;AOD$ подобны .  Так же   $ABD;DCB$  откуда получаем 
$\frac{BC}{5} = \frac{5}{AD}\\ BC*AD=25$. 
Положим что $OC=x;OB=y$  получаем  $\frac{x}{13-x}=\frac{y}{5-y}$ .  
Так как угол  $DBC=90а\\ BDA=90а$ , по теореме Пифагора  получаем 
$y^2+BC^2=x^2\\ (5-y)^2+AD^2=(13-x)^2$.
Получаем систему уравнения     
  $5x=13y\\ AD=\frac{25}{BC}\\\\ BC^2+\frac{25x^2}{169}=x^2\\ (5-\frac{5x}{13})^2+\frac{625}{BC^2}=(13-x)^2$
подставляя во второе получаем что  $BC=6+\sqrt{11}>0$  это меньшее основание 
 
 

Answer 2

Обозначим длины сторон трапеции следующим образом:

AB = a (большее основание), CD = b (меньшее основание), BC = c (боковая сторона), AD = d (боковая сторона).

Также, пусть BD = 5 (меньшая диагональ) и AC = 13 (большая диагональ).

Из условия задачи известно, что BD перпендикулярна к основаниям трапеции AD и BC, а также, что сумма острых углов A и C равна 90 градусов.

1. В прямоугольном треугольнике ABD: - AB^2 = AD^2 + BD^2 (теорема Пифагора). - a^2 = d^2 + 5^2.

2. В прямоугольном треугольнике BCD: - BC^2 = BD^2 + CD^2 (теорема Пифагора). - c^2 = 5^2 + b^2.

3. Также, учитывая, что сумма острых углов A и C равна 90 градусов, мы можем записать: - tan(A) = d/b, - tan(C) = c/a.

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} a^2 = d^2 + 5^2 \\ c^2 = 5^2 + b^2 \\ \tan(A) = \frac{d}{b} \\ \tan(C) = \frac{c}{a} \end{cases} \]

Сначала найдем значения d и b из уравнения \( \tan(A) = \frac{d}{b} \).

\[ d = b \tan(A) \]

Теперь подставим это значение d в уравнение \( a^2 = d^2 + 5^2 \).

\[ a^2 = (b \tan(A))^2 + 5^2 \]

Теперь у нас есть уравнение только с неизвестной b. Решим его.

Аналогично, найдем значения c и a из уравнения \( \tan(C) = \frac{c}{a} \).

\[ c = a \tan(C) \]

Теперь подставим это значение c в уравнение \( c^2 = 5^2 + b^2 \).

\[ (a \tan(C))^2 = 5^2 + b^2 \]

Теперь у нас есть уравнение только с неизвестной b. Решим его.

После нахождения b можно легко найти a, так как у нас уже есть \( a^2 = (b \tan(A))^2 + 5^2 \).

Таким образом, мы найдем значения b и a, которые соответствуют условиям задачи.