Question

В равностороннем треугольнике abc высота ch равна 39 корень из 3. Найдите стороны этого треугольника

Answer 1

Пусть стороны треугольника равны х. В равностороннем треугольнике высота ch будет и медианой тоже. Значит, ah=bh=$\frac{x}{2}$
В прямоугольном треугольнике hbc найдем по теореме Пифагора сторону bc:
bc²= ch² + bh²,
x² = (39√3)² + ($\frac{x}{2}$)²
x²=1521*3+$\frac{ x^{2} }{4}$
x²=4563+$\frac{ x^{2} }{4}$
x² - $\frac{ x^{2} }{4}$=4563
x² = 6084
x = 78

Answer 2

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, и высота, проведенная из вершины к основанию, делит треугольник на два равнобедренных треугольника. Также известно, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам.

Пусть a, b и c - стороны треугольника ABC (где a = b = c). Высота ch делит треугольник на два равнобедренных треугольника ACH и BCH.

Мы знаем, что треугольник BCH - равнобедренный, поэтому угол BHC (где H - середина стороны BC) равен 60 градусам, а угол BCH равен 30 градусам (половина угла в 60 градусов). Таким образом, треугольник BCH - прямоугольный треугольник.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике BCH:

\[ BH^2 = BC^2 - CH^2 \]

\[ BH^2 = c^2 - ch^2 \]

Подставим значения:

\[ BH^2 = c^2 - (39\sqrt{3})^2 \]

\[ BH^2 = c^2 - 3 \cdot 39^2 \]

\[ BH^2 = c^2 - 3 \cdot 1521 \]

Так как треугольник равнобедренный, то BH равно половине стороны c, то есть \(\frac{c}{2}\). Подставим это обратно:

\[ \left(\frac{c}{2}\right)^2 = c^2 - 3 \cdot 1521 \]

\[ \frac{c^2}{4} = c^2 - 3 \cdot 1521 \]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ c^2 = 4c^2 - 12 \cdot 1521 \]

\[ 0 = 3c^2 - 12 \cdot 1521 \]

\[ 3c^2 = 12 \cdot 1521 \]

\[ c^2 = 4 \cdot 1521 \]

\[ c = 2 \cdot 39 \sqrt{3} \]

Таким образом, сторона треугольника \( c \) равна \( 78\sqrt{3} \), а все стороны равны между собой, поскольку треугольник равносторонний.