Question

Дан правильный четырехугольник. В него вписана и около него описана окружность. Сторона правильного четырехугольника равна 2 корень из 2. Найдите отношение длин окружностей.

Answer 1

радиус вписанной окружности=(2корень из 2)/2=корень из 2

С= 2п*корень из 2

радиус описанной окружности =(2корень из 2)/корень из 2=2

С= 2п*2=4п

Отношение длин =( 2п*корень из 2)/4п=(корень из 2)/2

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим следующие величины:

- \( a \) - длина стороны правильного четырехугольника, - \( R \) - радиус описанной окружности, - \( r \) - радиус вписанной окружности.

Согласно условию, сторона правильного четырехугольника равна \( a = 2\sqrt{2} \).

Также известно, что радиус описанной окружности равен половине длины диагонали правильного четырехугольника. Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой \( a \) и катетами \( a/2 \), то можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[ R = \frac{\sqrt{a^2 + (a/2)^2}}{2} \]

\[ R = \frac{\sqrt{8 + 2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2} \]

Теперь обратим внимание, что радиус вписанной окружности равен половине длины диагонали правильного четырехугольника:

\[ r = \frac{\sqrt{a^2 + a^2}}{2} \]

\[ r = \frac{\sqrt{8 + 8}}{2} = \sqrt{2} \]

Теперь можем найти отношение длин окружностей. Длина окружности выражается формулой \(C = 2\pi r\). Таким образом, отношение длин окружностей:

\[ \frac{C_{\text{вписанной}}}{C_{\text{описанной}}} = \frac{2\pi r}{2\pi R} = \frac{r}{R} \]

\[ \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}} \]

\[ \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{20}}{10} = \frac{2\sqrt{4 \cdot 5}}{10} = \frac{4\sqrt{5}}{10} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Итак, отношение длин окружностей вписанной и описанной окружностей равно \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\).