Question

в прямоугольнике ABCD проведена биссектриса AM. Периметр прямоугольника равен 80 см. Найдите сторону AD, если площадь треугольника ABM равна 162

Answer 1

я думаю,162:80=2.025

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольника следующим образом:

- \(AB\) и \(CD\) - боковые стороны (параллельные), - \(BC\) и \(AD\) - основания.

Также обозначим точку пересечения биссектрисы \(AM\) с основанием \(BC\) как \(P\). Теперь у нас есть следующая информация:

1. Периметр прямоугольника \(ABCD\) равен 80 см: \[2(AB + BC) = 80.\]

2. Площадь треугольника \(ABM\) равна 162: \[\frac{1}{2} \cdot AM \cdot BC = 162.\]

Из первого уравнения найдем выражение для суммы \(AB + BC\): \[AB + BC = 40 - BC.\]

Теперь можем выразить \(AB\) через \(BC\): \[AB = 40 - BC.\]

Теперь рассмотрим треугольник \(ABM\). Мы знаем, что биссектриса делит основание \(BC\) пополам, поэтому \(BP = PC = \frac{1}{2}BC\).

Теперь можем выразить \(AM\) через \(BC\): \[AM = AP + MP = AP + BP = AP + \frac{1}{2}BC.\]

Теперь подставим эти выражения в уравнение для площади треугольника \(ABM\): \[\frac{1}{2} \cdot \left(AP + \frac{1}{2}BC\right) \cdot BC = 162.\]

Раскроем скобки и упростим: \[AP \cdot BC + \frac{1}{4}BC^2 = 162.\]

Теперь мы знаем, что \(AP = BC - BP = BC - \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}BC\), поэтому подставим это в уравнение: \[\frac{1}{2}BC^2 + \frac{1}{4}BC^2 = 162.\]

Сложим дроби с общим знаменателем: \[\frac{3}{4}BC^2 = 162.\]

Теперь выразим \(BC^2\): \[BC^2 = \frac{4}{3} \cdot 162.\]

\[BC^2 = 216.\]

Теперь найдем \(BC\): \[BC = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}.\]

Теперь, используя уравнение для суммы \(AB + BC\), найдем \(AB\): \[AB = 40 - BC = 40 - 6\sqrt{6}.\]

Таким образом, сторона \(AD\) равна \(AB\), и ответ: \[AD = 40 - 6\sqrt{6} \, \text{см}.\]