Question

Докажите,что ABCD квадрат, если A(-2;1-2),B(0,-2,4),C(3,4,6),D(1,7,0)?

Answer 1

Найди все точки в системе координат. Потом соедини их линиями, что получишь, то и будет. Квадрат, значит квадрат, если все отрезки линий равны.

Answer 2

Чтобы доказать, что ABCD - квадрат, нам нужно проверить несколько условий. Квадрат - это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Давайте проверим эти условия для ABCD.

1. Проверка равенства сторон:

Найдем длины сторон AB, BC, CD и DA.

Длина отрезка между двумя точками (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) в трехмерном пространстве можно найти по формуле:

\[d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2}\]

Посчитаем длины сторон:

- Для AB: \[AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + ((-2) - 1)^2 + (4 - (-2))^2}\] \[AB = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\]

- Для BC: \[BC = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - (-2))^2 + (6 - 4)^2}\] \[BC = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7\]

- Для CD: \[CD = \sqrt{(1 - 3)^2 + (7 - 4)^2 + (0 - 6)^2}\] \[CD = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\]

- Для DA: \[DA = \sqrt{((-2) - 1)^2 + (1 - 7)^2 + (4 - 0)^2}\] \[DA = \sqrt{9 + 36 + 16} = \sqrt{61}\]

Мы видим, что стороны AB, BC, CD и DA равны длине 7.

2. Проверка прямых углов:

Для проверки прямых углов мы можем воспользоваться скалярным произведением векторов. Если скалярное произведение векторов равно нулю, то угол между ними прямой.

Пусть \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) - это векторы, тогда скалярное произведение определяется как:

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z\]

Проверим для векторов \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{DA}\).

- Для \(\overrightarrow{AB} = (0 - (-2), (-2) - 1, 4 - (-2)) = (2, -3, 6)\) - Для \(\overrightarrow{BC} = (3 - 0, 4 - (-2), 6 - 4) = (3, 6, 2)\) - Для \(\overrightarrow{CD} = (1 - 3, 7 - 4, 0 - 6) = (-2, 3, -6)\) - Для \(\overrightarrow{DA} = (-2 - 1, 1 - 7, 4 - 0) = (-3, -6, 4)\)

Теперь вычислим скалярные произведения:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \cdot 3 + (-3) \cdot 6 + 6 \cdot 2 = 0\] \[\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 3 \cdot (-2) + 6 \cdot 3 + 2 \cdot (-6) = 0\] \[\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = (-2) \cdot (-3) + 3 \cdot (-6) + (-6) \cdot 4 = 0\] \[\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = (-3) \cdot 2 + (-6) \cdot (-3) + 4 \cdot 6 = 0\]

Мы видим, что скалярные произведения всех последовательных векторов равны нулю, что означает, что углы между этими векторами прямые.

Таким образом, мы доказали, что ABCD - квадрат, так как все его стороны равны и все углы прямые.