Question

Внешний угол при вершине A прямоугольного треугольника ABC равен 120 градусам. Сумма гипотенузы и катета AB равна 9 см. Найдите катет AB.

Answer 1

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
∠B+∠C=120° <=> ∠C=120°-90°=30°
Катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы.
AB=AC/2
AB+AC=9 <=> 3AB=9 <=> AB=3 (см)

Answer 2

Давайте разберемся с задачей. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол при вершине A равен 120 градусам. Мы также знаем, что сумма гипотенузы и катета AB равна 9 см.

Для начала, давайте найдем значение другого угла треугольника ABC. В прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна 180 градусам, поэтому угол B равен 90 - 120 = -30 градусам. Однако угол не может быть отрицательным, поэтому мы должны добавить 180 градусов к -30 градусам, чтобы получить положительное значение. Таким образом, угол B равен 180 - 30 = 150 градусам.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения катета AB. Мы знаем, что сумма гипотенузы и катета AB равна 9 см, поэтому мы можем записать уравнение:

AB + AC = 9

где AC - гипотенуза треугольника ABC.

Теперь нам нужно найти значение катета AC. Мы можем использовать тригонометрическое соотношение для прямоугольного треугольника:

cos(B) = AC / AB

где B - угол при вершине B.

Подставляя известные значения, получим:

cos(150) = AC / AB

Теперь найдем значение косинуса 150 градусов. Косинус 150 градусов равен -0.866, поэтому мы можем записать:

-0.866 = AC / AB

Теперь мы можем решить это уравнение относительно AB:

AB = AC / -0.866

Однако нам нужно найти значение катета AB, а не отношение катета к гипотенузе. Для этого мы должны использовать другое тригонометрическое соотношение:

sin(B) = AB / AC

где B - угол при вершине B.

Подставляя известные значения, получим:

sin(150) = AB / AC

Теперь найдем значение синуса 150 градусов. Синус 150 градусов равен 0.5, поэтому мы можем записать:

0.5 = AB / AC

Теперь мы можем решить это уравнение относительно AB:

AB = 0.5 * AC

Теперь мы имеем два уравнения для AB:

AB = AC / -0.866

AB = 0.5 * AC

Мы можем приравнять эти два уравнения:

AC / -0.866 = 0.5 * AC

Домножим обе части уравнения на -0.866:

AC = -0.866 * 0.5 * AC

Упростим это выражение:

-0.866 = -0.433 * AC

Теперь делим обе части уравнения на -0.433:

AC = -0.866 / -0.433

AC = 2 см

Теперь мы можем найти значение катета AB:

AB = 0.5 * AC

AB = 0.5 * 2

AB = 1 см

Таким образом, катет AB равен 1 см.