Question

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а. Высота, опущенная на основание, большего радиуса вписанного круга на m. Найти стороны треугольника.

Answer 1

Положим что основание равна $b$

$\frac{b}{2sina}=R$     

Тогда высота равна $\frac{b}{2sin\frac{a}{2}}=\frac{h}{cos\frac{a}{2}}$ 

$h=\frac{b}{2}*ctg\frac{a}{2}$

$\frac{b}{2}ctg\frac{a}{2}-\frac{b}{2sina}=m$

$b=\frac{2m}{\frac{ctg\frac{a}{2}}{2}-\frac{1}{2sina}}=2m*tga$  

$\frac{2m*tga}{sina}=\frac{y}{cos\frac{a}{2}}$

$y=\frac{2m*tga*cos\frac{a}{2}}{sina}$ 

   

 боковая сторона $y$

Answer 2

Давайте обозначим равнобедренный треугольник как ABC, где AB = AC (основание) и угол при основании ABC равен a. Пусть H - это высота, опущенная из вершины A на основание BC.

Также у нас есть вписанный круг с радиусом r. По свойству вписанного круга, радиус, опущенный из центра круга на стороны треугольника, делит каждый угол треугольника пополам. Поэтому угол BAC (выпуклый угол в вершине треугольника) равен a/2.

Итак, у нас есть следующая ситуация:

1. Угол ABC = Угол ACB = a (по свойству равнобедренного треугольника). 2. Угол BAC = a/2.

Теперь, обратим внимание на треугольник AHC, где H - это точка пересечения высоты с основанием. В этом треугольнике:

1. Угол AHC = 90 градусов (по определению высоты). 2. Угол BAC + Угол ACH = 90 градусов (сумма углов треугольника).

Таким образом, Угол ACH = 90 - a/2.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Мы знаем, что угол ACH = 90 - a/2, высота AH = m, и AC = AB.

Теперь мы можем использовать тангенс угла ACH:

\[ \tan(\text{ACH}) = \frac{\text{AH}}{\text{AC}} \]

\[ \tan\left(90 - \frac{a}{2}\right) = \frac{m}{AB} \]

\[ \cot\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{m}{AB} \]

\[ AB = \frac{m}{\cot\left(\frac{a}{2}\right)} \]

Таким образом, сторона треугольника \( AB = AC \) равна \( \frac{m}{\cot\left(\frac{a}{2}\right)} \). Поскольку треугольник равнобедренный, сторона BC также равна \( \frac{m}{\cot\left(\frac{a}{2}\right)} \). Таким образом, все стороны треугольника равны:

\[ AB = AC = BC = \frac{m}{\cot\left(\frac{a}{2}\right)} \]