Question

Объясните, докажите теорему косинусов

Answer 1

Теорема косинусов:Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.Теорема Пифагора это частный случай теоремы косинусов о которой я поведу речь. Теорема косинусов имеет вид:a2 = b2 + c2 - 2bc*Cos(A)Cos(A) это угол лежаший напротив стороны a (обычное обозначение сторон и углов: напротив стороны "а" лежит угол A, "b" лежит угол B, "c" лежит угол C).Доказательство теоремы не очень сложное, судите сами: Введем систему координат с началом в точке А так, как показано на рисунке. Тогда точка В имеет координаты (с;0), а точка С - (b cos A; b sin A). По формуле расстояния между двумя точками получаемВС2 = а2 = (b cos(A) - c)2 + b2Sin2(A) == b2Cos2(A) + b2Sin2(A) - 2*bcCos(A) + c2 == b2 + c2 - 2*bcCos(A)

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим теорему косинусов. Теорема косинусов устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусами его углов. Предположим, у нас есть треугольник ABC, где стороны обозначаются как a, b и c, а углы как A, B и C. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где: - \(c\) - длина стороны, противолежащей углу \(C\), - \(a\) и \(b\) - длины двух других сторон, - \(\cos(C)\) - косинус угла \(C\).

Также теорема может быть записана для других углов, например, для угла \(A\):

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)\]

или для угла \(B\):

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B)\]

Теперь давайте рассмотрим, как можно доказать теорему косинусов. Рассмотрим треугольник ABC и введем точку D на стороне AB так, чтобы CD было высотой треугольника. Тогда получится два прямоугольных треугольника ADC и BDC.

Применим теорему Пифагора к каждому из этих треугольников:

В треугольнике ADC: \[AC^2 = AD^2 + CD^2\]

В треугольнике BDC: \[BC^2 = BD^2 + CD^2\]

Теперь выразим \(AD\) и \(BD\) через стороны треугольника ABC:

\[AD = AC \cdot \cos(C)\]

\[BD = BC \cdot \cos(B)\]

Подставим это в уравнения:

\[AC^2 = (AC \cdot \cos(C))^2 + CD^2\]

\[BC^2 = (BC \cdot \cos(B))^2 + CD^2\]

Раскроем скобки:

\[AC^2 = AC^2 \cdot \cos^2(C) + CD^2\]

\[BC^2 = BC^2 \cdot \cos^2(B) + CD^2\]

Теперь выразим \(CD^2\) через \(AC\) и \(BC\):

\[CD^2 = AC^2 - AC^2 \cdot \cos^2(C)\]

\[CD^2 = BC^2 - BC^2 \cdot \cos^2(B)\]

Теперь объединим уравнения:

\[BC^2 - BC^2 \cdot \cos^2(B) = AC^2 - AC^2 \cdot \cos^2(C)\]

Выразим одну из косинусов через другой, например, \(\cos(B)\) через \(\cos(C)\):

\[BC^2 - BC^2 \cdot (1 - \sin^2(B)) = AC^2 - AC^2 \cdot (1 - \sin^2(C))\]

Раскроем скобки и упростим:

\[BC^2 \cdot \sin^2(B) = AC^2 \cdot \sin^2(C)\]

Теперь разделим обе стороны на \(a^2 \cdot b^2\) (где \(a = BC\), \(b = AC\)):

\[\frac{BC^2}{a^2} = \frac{AC^2}{b^2}\]

Таким образом, мы получили теорему косинусов:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где \(c\) - длина стороны, противолежащей углу \(C\). Таким образом, теорема косинусов доказана.