Question

Средние линии треугольника относятся как 2:5:7,а периметр треугольника равен 84 см.Найдите стороны треугольника

Answer 1

Средняя линия это 1/2 стороны, значит
a=2×2x, b=2×5x, c=2×7x,
P=4x+10x+14x
28x=84
x=3, значит a=4×3=12 cм, b=10×3=30 см, с=14×3=42 см
Ответ: а=12 см, b=30 см, с=42 см

Answer 2

Пусть средние линии треугольника делят его стороны на три части, и эти части имеют отношение 2:5:7. Обозначим длины сторон треугольника через a, b и c, а длины средних линий, соответственно, через m₁, m₂ и m₃.

Тогда мы можем записать следующие соотношения:

\[m₁ = \frac{1}{2}(b + c)\] \[m₂ = \frac{1}{2}(a + c)\] \[m₃ = \frac{1}{2}(a + b)\]

Согласно условию, отношение длин средних линий равно 2:5:7. То есть:

\[\frac{m₁}{2} : \frac{m₂}{5} : \frac{m₃}{7} = 2 : 5 : 7\]

Теперь подставим выражения для \(m₁\), \(m₂\), \(m₃\):

\[\frac{\frac{1}{2}(b + c)}{2} : \frac{\frac{1}{2}(a + c)}{5} : \frac{\frac{1}{2}(a + b)}{7} = 2 : 5 : 7\]

Умножим все части уравнения на 2, 5 и 7 соответственно, чтобы избавиться от знаменателей:

\[(b + c) : 2 \cdot (a + c) : 2 \cdot (a + b) = 4 : 5 : 7\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[b + c = 4k\] \[a + c = 5k\] \[a + b = 7k\]

где \(k\) - некоторая константа.

Сложим все три уравнения:

\[2(a + b + c) = 16k\]

Так как периметр треугольника равен 84 см, то:

\[a + b + c = 42\]

Подставим это значение в уравнение:

\[2 \cdot 42 = 16k\]

\[84 = 16k\]

\[k = \frac{84}{16} = 5.25\]

Теперь найдем длины сторон треугольника, подставив \(k\) в исходные уравнения:

\[b + c = 4k = 4 \cdot 5.25 = 21\]

\[a + c = 5k = 5 \cdot 5.25 = 26.25\]

\[a + b = 7k = 7 \cdot 5.25 = 36.75\]

Таким образом, длины сторон треугольника равны \(a = 10.5\) см, \(b = 10.5\) см и \(c = 10.5\) см.