Question

Отрезок CH- высота прямоугльного треугольника ABC ( C=90 градусов ) . HL=3HK, где HL и HK - биссектрисы треугольников BCH и АСН соответственно, АВ=2*√5. Найти площадь ABC

Answer 1

Сначала доказываем подобие треугольников ВСН и АСН (по двум углам). Это очевидно, поскольку угол АНС и угол ВНС будут прямыми, а угол АСН = углу НВС (из треугольника АВС угол НВС = 90 - угол САВ, из треугольника АСН следует, что угол АСН = 90 - угол САВ (он же угол САН)).
Так как эти треугольники подобны, то подобны и их соответственные элементы (в нашем случае биссектрисы). Поэтому коэффициент подобия треугольников АСН и ВСН равен 1/3.
Из подобия следует соотношение сторон этих треугольников: АН/СН = СН/ВН = АС/ВС = 1/3
Нас интересует последнее соотношение, дающее нам катеты исходного прямоугольного треугольника АВС.
Пусть АС = х, то ВС = 3х, и по т. Пифагора имеем:
х² + 9х² = (2√5)²
10х² = 20
х = √2
АС = √2, ВС = 3√2
Площадь треугольника АВС равна половине произведения катетов:
1/2×√2×3√2 = 3
Ответ: 3

Answer 2

Решение в прикреплённом файле

Answer 3

Для начала, давайте построим треугольник ABC и отметим все известные значения.

Мы знаем, что угол C равен 90 градусов, поэтому сторона CH является высотой треугольника ABC, опущенной из вершины C на сторону AB. Также дано, что сторона AB равна 2√5.

Далее, нам дано, что HL равно 3HK, где HL и HK - это биссектрисы треугольников BCH и АСН соответственно.

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать теорему Пифагора и знания о биссектрисах треугольника.

Вычисление сторон треугольника

Давайте найдем длины сторон треугольника ABC.

Мы знаем, что сторона AB равна 2√5. Пусть BC = x и AC = y.

Используя теорему Пифагора в треугольнике ABC, мы можем записать следующее:

AC^2 + BC^2 = AB^2

y^2 + x^2 = (2√5)^2

y^2 + x^2 = 4 * 5

y^2 + x^2 = 20

Вычисление высоты треугольника

Теперь мы можем найти высоту треугольника CH.

Мы знаем, что HL равно 3HK, поэтому давайте представим HL как 3x и HK как x.

Так как HL является биссектрисой треугольника BCH, мы можем записать следующее:

HL / BC = CH / BH

3x / x = CH / BH

3 = CH / BH

Вычисление площади треугольника

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC, используя формулу площади треугольника:

Площадь ABC = 0.5 * AB * CH

Подставим известные значения:

Площадь ABC = 0.5 * (2√5) * CH

Решение

Мы знаем, что сторона AB равна 2√5 и CH равно высоте треугольника. Высоту треугольника мы выразили через BH как CH / BH = 3.

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу для площади треугольника:

Площадь ABC = 0.5 * (2√5) * CH

Площадь ABC = √5 * CH

Таким образом, площадь треугольника ABC равна √5 * CH, где CH - это высота треугольника, опущенная из вершины C на сторону AB.