Question

Найти в градусах угол между координатной плоскостью Оху и прямой, проходящей через точки М (3,6,1) и N(4,6,2)

Answer 1

нормаль от плоскости oxy будем иметь координаты n(0;0;1)

1 - произвольное число, нормально может быть сколь угодно длинной в высоту

вектор MN(4-3;6-6;2-1)=MN(1;0;1)

$cos\alpha = \frac{|(\overline n, \overline {MN})|}{|\overline n|*|\overline{MN}|}=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1}\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \alpha=\frac{\pi}{4}=45^\circ$

Answer 2

Для того чтобы найти угол между координатной плоскостью Oxy и прямой, проходящей через точки M(3,6,1) и N(4,6,2), мы можем использовать скалярное произведение векторов.

Сначала нам нужно найти вектор, лежащий в плоскости Oxy. Для этого мы можем взять вектор, например, из начала координат O(0,0,0) до проекции точки M на плоскость Oxy. Заметим, что проекция точки M на плоскость Oxy будет иметь координаты (3,6,0), так как z-координата обнуляется.

Теперь мы можем найти вектор, лежащий на прямой MN. Для этого мы можем вычислить разность координат точек N и M:

MN = N - M = (4,6,2) - (3,6,1) = (1,0,1)

Теперь, чтобы найти угол между векторами, мы можем использовать формулу скалярного произведения:

cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|),

где A и B - векторы, θ - угол между ними, · - скалярное произведение, |A| и |B| - длины векторов A и B соответственно.

В нашем случае, вектор A соответствует вектору из начала координат O до проекции точки M на плоскость Oxy, а вектор B - вектору MN.

Вычислим значения:

A = (3,6,0), B = (1,0,1).

Теперь найдем длины векторов:

|A| = sqrt(3^2 + 6^2 + 0^2) = sqrt(45) = 6.708, |B| = sqrt(1^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(2) = 1.414.

Теперь вычислим скалярное произведение:

A · B = 3*1 + 6*0 + 0*1 = 3.

Теперь, используя формулу, найдем cos(θ):

cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|) = 3 / (6.708 * 1.414) = 0.309.

Наконец, чтобы найти угол θ, мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус):

θ = arccos(0.309) ≈ 1.253 радиан или ≈ 71.8 градусов.

Таким образом, угол между координатной плоскостью Oxy и прямой, проходящей через точки M(3,6,1) и N(4,6,2), составляет приблизительно 71.8 градусов.