Question

сформулировать определение средней линии трапеции. Докозать свойство средней линии трапеции. помогите ссрочно плиз

Answer 1

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Свойства средней линии трапеции:
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:
К и М - середины боковых сторон трапеции ABCD, КМ - ее средняя линия.

Проведем прямую ВМ.
ВМ ∩ AD = N.

CM = MD по условию,
∠BCМ = ∠NDM как накрест лежащие при пересечении параллельных AN и ВС секущей CD,
∠BMC = ∠NMD как вертикальные, ⇒
ΔBMC = ΔNMD по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Значит, ВМ = MN, то есть КМ - средняя линия треугольника ABN, следовательно КМ║AN, а значит и КМ║AD.

Из равенства треугольников следует, что
DN = BC = b, значит AN = AD + BC = a + b,
а KM = AN/2 = (a + b)/2 как средняя линия треугольника ABN.

Answer 2

Средняя линия трапеции - это отрезок, который соединяет середины двух параллельных сторон трапеции. Если обозначить среднюю линию как \(m\), а основания трапеции как \(a\) и \(b\), то \(m\) будет равна полусумме оснований: \(m = \frac{a + b}{2}\).

Давай докажем это свойство. Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\) и средней линией \(EF\), где \(E\) и \(F\) - середины \(AD\) и \(BC\) соответственно.

Для начала, обозначим точку пересечения \(EF\) и \(AD\) как \(G\) и точку пересечения \(EF\) и \(BC\) как \(H\). Поскольку \(E\) и \(F\) являются серединами сторон \(AD\) и \(BC\), то \(EG = GD\) и \(FH = HC\).

Теперь рассмотрим треугольники \(AEG\) и \(CFH\). В этих треугольниках у нас есть:

1. \(AE = CF\) (так как \(E\) и \(F\) - середины соответствующих сторон трапеции). 2. \(EG = GD\) и \(FH = HC\) (по построению).

Из этих фактов мы видим, что треугольники \(AEG\) и \(CFH\) равны по двум сторонам и углу между ними, так как обе стороны между равными углами также равны. Поэтому по свойству равных треугольников углы \(\angle AEG\) и \(\angle CFH\) равны.

Теперь рассмотрим треугольники \(ABE\) и \(DCB\). У них также есть:

1. \(AB = DC\) (основания трапеции). 2. \(AE = CF\) (так как \(E\) и \(F\) - середины соответствующих сторон трапеции). 3. \(\angle ABE = \angle DBC\) (так как они соответственные углы параллельных прямых).

Из этих фактов мы видим, что треугольники \(ABE\) и \(DCB\) равны по трем сторонам, поэтому по свойству равных треугольников углы \(\angle BAE\) и \(\angle CBD\) равны.

Теперь мы имеем две пары параллельных сторон треугольников \(\triangle ABE\) и \(\triangle DCB\), у которых соответственные углы равны. Значит, эти треугольники подобны по признаку углов, что означает, что отношение сторон \(BE\) и \(CB\) (то есть отрезок \(EF\) и \(BC\)) равно отношению сторон \(AE\) и \(DC\) (то есть отрезок \(AD\) и \(EF\)).

Это можно записать как:

\(\frac{EF}{BC} = \frac{AD}{EF}\)

Перегруппируем это уравнение:

\(EF^2 = BC \cdot AD\)

Теперь заметим, что \(BC + AD = b + a = AB\), где \(AB\) - сумма оснований трапеции.

Подставим значение \(AB\) в выражение \(EF^2 = BC \cdot AD\):

\(EF^2 = (AB - EF) \cdot EF\)

\(EF^2 = AB \cdot EF - EF^2\)

\(2 \cdot EF^2 = AB \cdot EF\)

Отсюда получаем:

\(EF = \frac{AB}{2}\)

Таким образом, средняя линия трапеции \(EF\) равна полусумме оснований \(AB\): \(EF = \frac{a + b}{2}\).