Question

В треугольник с периметром, равным 20 см, вписана окружность. Отрезок касательной, проведенной к окружности параллельно основанию, заключенный между сторонами треугольника, содержит 2,4 см. Найти основание треугольника.

Answer 1

Если стороны BC = а (считаем эту сторону основанием), AC = b и AB = c, то периметр равен 2*p = (a + b +c);

Отрезок PQ = t = 2,4; точка Р на стороне b, Q на стороне c.

Точки касания вписанной окружности стороны ВС - точка M, стороны АС - точка К, стороны АВ - точка Е.

Точка касания вписанной окружности отрезком PQ - точка Т.

Если обозначить отрезки от вершин до точек касания ВЕ = ВМ = x, СК = СМ = y и АК = АЕ = z, то

a = x + y;

b = x + z;

c = y + z;

Периметр меньшего треугольника (который отсечен заданным отрезком касательной) равен 2*z, поскольку РК = РТ; и QE = QT. 

Отсюда легко видеть, что ПОЛУпериметр отсеченного треугольника равен p - a; (по условию, р = 10)

Поскольку эти треугольники подобны (исходный и отсеченный отрезком касательной), то ПОЛУпериметры относятся так же как стороны, и

(p - a)/p = t/a; 

(10 - a)/10 = 2,4/a;

это легко привести к виду

a^2 - 10*a + 24 = 0; 

a = 4 или 6.

Получилось 2 решения. :(

 

Answer 2

Задача

В треугольник с периметром, равным 20 см, вписана окружность. Отрезок касательной, проведенной к окружности параллельно основанию, заключенный между сторонами треугольника, содержит 2,4 см. Найти основание треугольника.

Решение

Дано, что периметр треугольника равен 20 см. Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Также, пусть отрезок касательной, проведенной к окружности параллельно основанию, равен x. Тогда получаем следующие уравнения:

a + b + c = 20 (уравнение периметра треугольника) 2x + c = 2,4 (уравнение отрезка касательной)

Нам нужно найти основание треугольника, то есть значение стороны c. Для этого мы можем использовать систему уравнений, состоящую из уравнения периметра треугольника и уравнения отрезка касательной.

Решим эту систему уравнений методом подстановки:

Из уравнения периметра треугольника выразим одну из сторон (например, a) через остальные стороны: a = 20 - b - c

Подставим это выражение в уравнение отрезка касательной: 2x + c = 2,4 2x + (20 - b - c) = 2,4 2x - b = 2,4 - 20 + c 2x - b + 17,6 = c

Теперь можем подставить это значение в уравнение периметра треугольника: (20 - b - (2x - b + 17,6)) + b + (2x - b + 17,6) =