Question

Площадь правильного треугольника больше площади вписанного в него круга на 27 корней из 3-9пи. Найдите площадь радиус круга.

Answer 1

Пr^2- площадь круга,

3sqrt(3)r-площадь треугольника

 следует

1.(3sqrt(3)-П)r^2=27sqrt(3)-9П=9(3sqrt(3)-П)

2.r^2=9

3.r=3

ответ:3

Answer 2

Давайте разберёмся с этой задачей.

Площадь правильного треугольника можно выразить формулой:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2, \]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

Площадь вписанного в треугольник круга связана с радиусом \(r\) этого круга формулой:

\[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2. \]

Из условия задачи у нас есть равенство:

\[ S_{\text{треугольника}} = S_{\text{круга}} + 27 \sqrt{3}. \]

Подставим выражения для площадей и упростим:

\[ \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \pi \cdot r^2 + 27 \sqrt{3}. \]

Теперь, учитывая, что треугольник правильный, у нас есть соотношение между стороной треугольника и радиусом вписанного в него круга:

\[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}}. \]

Подставим это в уравнение:

\[ \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \pi \cdot \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 + 27 \sqrt{3}. \]

Решим это уравнение для нахождения значения \(a\), а затем найдем радиус круга \(r\).

Упростим:

\[ \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \pi \cdot \frac{a^2}{12} + 27 \sqrt{3}. \]

Перенесем все члены на одну сторону:

\[ \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 - \pi \cdot \frac{a^2}{12} - 27 \sqrt{3} = 0. \]

Умножим все члены на 12, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 3\sqrt{3} \cdot a^2 - \pi \cdot a^2 - 324 \sqrt{3} = 0. \]

Факторизуем это уравнение:

\[ a^2(3\sqrt{3} - \pi) - 324 \sqrt{3} = 0. \]

Таким образом, получаем два возможных значения для \(a\):

\[ a = 0 \quad \text{или} \quad a = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \pi}. \]

Так как длина стороны не может быть нулевой, мы выбираем второй вариант. Теперь найдем радиус круга:

\[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{2\sqrt{3}(\sqrt{3} - \pi)} = \frac{9}{\sqrt{3} - \pi}. \]

Таким образом, радиус вписанного круга равен \(\frac{9}{\sqrt{3} - \pi}\).