Question

Решите уравнение способом расскладывания на множители: а)sin2x+sin4x-cosx=0 б)tg^2x-√3tgx=0

Answer 1

A)2sin3xcosx-cosx=0
cosx(2sin3x-1)=0
cosx=0
x=п/2+пк
2sin3x=1
sin3x=1/2
х=п/18+(2/3)пк
х=5п/18+(2/3)пк

б)tgx(tgx-sqrt{3})=0
tgx=0
x=пк
tgx=sqrt{3}
х=п/3+пк

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнения, используя метод разложения на множители.

Уравнение (а): \( \sin^2(x) + \sin(4x) - \cos(x) = 0 \)

Для удобства представим \(\sin(4x)\) через более простые функции:

\[\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x).\]

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

\[\sin^2(x) + 2\sin(2x)\cos(2x) - \cos(x) = 0.\]

Используем тригонометрические тождества:

\[\sin^2(x) + 2\cdot 2\sin(x)\cos(x)\cos(2x) - \cos(x) = 0.\]

Перепишем в виде квадратного трехчлена:

\[\sin^2(x) - \cos(x) + 4\sin(x)\cos(x)\cos(2x) = 0.\]

Теперь разложим на множители:

\[(\sin(x) - 1)(\sin(x) + 4\cos(x)\cos(2x)) = 0.\]

Таким образом, получаем два уравнения:

1. \(\sin(x) - 1 = 0\), откуда \(\sin(x) = 1\). Решение: \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

2. \(\sin(x) + 4\cos(x)\cos(2x) = 0\). Это уравнение требует более сложных методов решения, и его решение можно получить численно.

Уравнение (б): \( \tan^2(x) - \sqrt{3}\tan(x) = 0 \)

Разложим на множители:

\[\tan(x)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0.\]

Таким образом, у нас два уравнения:

1. \(\tan(x) = 0\), откуда \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число.

2. \(\tan(x) - \sqrt{3} = 0\), откуда \(\tan(x) = \sqrt{3}\). Решение: \(x = \frac{\pi}{3} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, уравнение (б) имеет два набора решений.