Question

Точка,отдаленная от всех вершин прямоугольного треугольника на 5 см, размещена на расстоянии 2 см от площади треугольника.Найдите длину гипотенузы треугольника.

Answer 1

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с гипотенузой AB.
Точка S равноудалена от плоскости треугольника, а точнее от каждой его вершины. Это значит, что все ребра полученной пирамиды SABC равны. Из этого следует, что основание высоты пирамиды (точка М) является центром описанной около ABC окружности.
Известно, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы. 
Из прямоугольного треугольника SMA, где SA = 5 см, SM = 2 см найдем AM.
$AM = \sqrt{SA^{2}-SM^{2}} = \sqrt{5^{2}-2^{2}} = \sqrt{21}$.
$AB = 2*AM = 2\sqrt{21}$.

Ответ: $2\sqrt{21}$

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника. Напомню, что теорема Пифагора утверждает, что квадрат длины гипотенузы (стороны, противоположной прямому углу) равен сумме квадратов длин катетов (двух других сторон треугольника).

Давайте обозначим длины катетов как a и b, а длину гипотенузы как c. По условию задачи, точка находится на расстоянии 2 см от площади треугольника, поэтому она находится на расстоянии 2 см от катета a. Так как точка также находится на расстоянии 5 см от всех вершин треугольника, это означает, что она находится на расстоянии 5 см от катета b.

Теперь мы можем записать уравнение, используя теорему Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2

Зная, что точка находится на расстоянии 2 см от катета a и 5 см от катета b, мы можем записать следующее:

(a + 2)^2 + (b - 5)^2 = c^2

Теперь нам нужно решить это уравнение, чтобы найти длину гипотенузы c