Question

в трапеции ABCD с основаниями BC и AD центр описанной окружности лежат на основании AD. Найдите радиус этой окружности, если AD=2AB и AB=2

Answer 1

Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
В равнобедренной трапеции, прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
Раз центр описанной окружности лежит на основании AD, то AD- ее диаметр. Значит радиус равен 2.

Answer 2

Пусть точка O - центр описанной окружности в трапеции ABCD, а AB = a. Также известно, что AD = 2AB.

Так как центр описанной окружности лежит на основании AD, то отрезок AO является радиусом этой окружности.

Из условия AB = a и AD = 2AB следует, что AD = 2a.

Теперь рассмотрим треугольник AOD, где OD - радиус описанной окружности. Треугольник AOD - прямоугольный, так как радиус окружности перпендикулярен хорде на половине её длины.

Используем теорему Пифагора в треугольнике AOD:

\[ AO^2 + OD^2 = AD^2 \]

\[ a^2 + OD^2 = (2a)^2 \]

\[ a^2 + OD^2 = 4a^2 \]

\[ OD^2 = 3a^2 \]

\[ OD = a\sqrt{3} \]

Таким образом, радиус описанной окружности в трапеции ABCD равен \(a\sqrt{3}\).