Question

Составить каноническое уравнение прямой проходящей через точку M0 (5;2;2) перпендикулярно плоскости, проходящей через точки M1 (3;4;6), M2 (3;-2;-3), M3 (6;3;2)

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Для составления канонического уравнения прямой, проходящей через точку M0(5, 2, 2) и перпендикулярной плоскости, проходящей через точки M1(3, 4, 6), M2(3, -2, -3) и M3(6, 3, 2), мы можем использовать два шага:

Шаг 1: Найдем векторное уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M2 и M3. Шаг 2: Найдем уравнение прямой, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через точку M0.

Шаг 1: Найдем векторное уравнение плоскости

Для этого, нужно найти два вектора, лежащих в плоскости. Мы можем взять векторное произведение двух векторов, образованных парами точек на плоскости.

Вектор AB = M2 - M1 = (3, -2, -3) - (3, 4, 6) = (0, -6, -9) Вектор AC = M3 - M1 = (6, 3, 2) - (3, 4, 6) = (3, -1, -4)

Теперь, найдем векторное произведение векторов AB и AC:

N = AB x AC = (0, -6, -9) x (3, -1, -4)

Для вычисления векторного произведения, мы можем использовать следующую формулу:

N = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)

Подставляя значения в формулу, получаем:

N = ( (-6) * (-4) - (-1) * (-9), (-9) * 3 - (-4) * 0, 0 * (-1) - (-6) * 3 ) = ( 18 - 9, -27, 0 - (-18) ) = ( 9, -27, 18 )

Теперь у нас есть нормальный вектор плоскости N = (9, -27, 18).

Уравнение плоскости в векторной форме будет:

N · (r - M1) = 0

где N - нормальный вектор плоскости, r - координаты произвольной точки на плоскости, M1 - координаты одной из точек плоскости.

Подставляя значения, получаем:

(9, -27, 18) · (r - (3, 4, 6)) = 0

Шаг 2: Найдем уравнение прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку M0

Так как прямая перпендикулярна плоскости, то ее направляющий вектор будет сонаправлен с нормальным вектором плоскости N.

Теперь у нас есть направляющий вектор прямой - N = (9, -27, 18).

Уравнение прямой в параметрической форме будет:

x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct

где (x0, y0, z0) - координаты точки на прямой, (a, b, c) - направляющий вектор прямой, t - параметр.

Подставляя значения, получаем:

x = 5 + 9t y = 2 - 27t z = 2 + 18t

Таким образом, каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0(5, 2, 2) и перпендикулярной плоскости, проходящей через точки M1(3, 4, 6), M2(3, -2, -3) и M3(6, 3, 2), будет:

x = 5 + 9t y = 2 - 27t z = 2 + 18t