Question

На стороне AB равностороннего треугольника ABC взята точка D так, что сумма расстояний от нее до сторон AC и BC равна 16 см. Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины C.

Answer 1

Задание № 7:

На стороне AB равностороннего треугольника ABC взята точка D так, что сумма расстояний от нее до сторон AC и BC равна 16 см. Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины C.

РЕШЕНИЕ: Пусть сторона треугольника а. Одно из данных расстояний m, другое – n. Расстояния – это высоты. Находим площади треугольников:

$S_{ADC}= \frac{1}{2} m *AC=\frac{1}{2} m a \\ S_{BDC}= \frac{1}{2}n *AC=\frac{1}{2} n a$

Теперь их суммируем:

$S_{ADC}+S_{BDC}= \frac{1}{2} (m+n) a$

В левой части полная площадь ABC, правую можно периписать так:

$S_{ABC}= \frac{1}{2} (m+n) *AB=\frac{1}{2} h *AB$

Где h - высота из вершины C, равна сумме расстояний = 16 см

ОТВЕТ: 16 см

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойством высоты равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все высоты, проведенные из вершин, являются медианами и одновременно биссектрисами, что делает их равными между собой.

Обозначим сторону треугольника ABC как \( a \). Так как треугольник ABC равносторонний, все его стороны равны. Теперь введем обозначения:

\( AB = BC = AC = a \) (сторона треугольника).

Также мы знаем, что сумма расстояний от точки D до сторон AC и BC равна 16 см:

\[ AD + BD = 16 \, \text{см} \]

Так как D - точка на стороне AB, мы можем представить BD как \( AB - AD \).

Теперь мы можем записать уравнение:

\[ AD + (AB - AD) = 16 \, \text{см} \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 2AD = AB = a \]

Таким образом, расстояние от точки D до стороны AB равно половине стороны треугольника.

Теперь рассмотрим треугольник CBD. Мы знаем, что BD равно \( \frac{a}{2} \). Так как ABC - равносторонний треугольник, угол BCD равен 60 градусам (так как это биссектриса угла при вершине C).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник CBD с известными катетами \( \frac{a}{2} \) и \( \frac{a}{2\sqrt{3}} \) (половина стороны и высота равностороннего треугольника). Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы, которая является высотой треугольника:

\[ h^2 = \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

\[ h^2 = \frac{a^2}{12} + \frac{a^2}{4} \]

\[ h^2 = \frac{3a^2}{12} + \frac{3a^2}{12} \]

\[ h^2 = \frac{4a^2}{12} \]

\[ h^2 = \frac{a^2}{3} \]

\[ h = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Таким образом, высота треугольника, проведенная из вершины C, равна \( \frac{a}{\sqrt{3}} \).