Question

Четырехугольник ABCD параллелограмм. луч AM биссектриса угла BAD, луч CN биссектриса угла BCD докажите что ANCM параллелограмм

Answer 1

∠ВМА = ∠DAM как накрест лежащие при пересечении параллельных BC и AD секущей АМ.
∠DAM = ∠ВАМ так как АМ биссектриса, ⇒
∠ВАМ = ∠ВМА.

∠ВСN = ∠ВАМ как половины равных углов (противоположные углы параллелограмма равны), ⇒
∠BCN = ∠BMA, а это соответственные углы при пересечении прямых AM и CN секущей ВС, значит
AM║CN,
МС║AN, так как лежат на противоположных сторонах параллелограмма ABCD.
Если в четырехугольнике противолежащие стороны параллельны, то это параллелограмм.

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ANCM является параллелограммом, мы можем использовать свойства параллелограммов и информацию о биссектрисах углов.

Свойства параллелограммов:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны. 2. Противоположные углы параллелограмма равны. 3. Диагонали параллелограмма делятся пополам.

Доказательство:

Шаг 1: Покажем, что сторона AM равна стороне CN.

Дано, что луч AM является биссектрисой угла BAD, а луч CN является биссектрисой угла BCD.

Так как AM является биссектрисой угла BAD, то угол MAB равен углу MAD. (Углы MAB и MAD делятся пополам при пересечении луча AM с прямой AB).

Также, так как CN является биссектрисой угла BCD, то угол CBN равен углу CBD. (Углы CBN и CBD делятся пополам при пересечении луча CN с прямой BC).

Из этого следует, что углы MAB и CBN равны, так как они являются биссектрисами одного и того же угла (угла BAD).

Таким образом, по свойству параллелограмма, сторона AM равна стороне CN.

Шаг 2: Покажем, что сторона AN параллельна стороне CM.

Для этого мы можем использовать свойство параллелограмма, что противоположные стороны параллелограмма равны.

Из шага 1 мы знаем, что сторона AM равна стороне CN.

Также, по свойству параллелограмма, сторона AB равна стороне CD, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ABCD.

Таким образом, сторона AN равна стороне CM (противоположные стороны параллелограмма равны).

Шаг 3: Покажем, что сторона AC равна стороне NM.

Для этого мы можем использовать свойство параллелограмма, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

Так как сторона AM равна стороне CN (из шага 1), и сторона AB равна стороне CD (из свойства параллелограмма), то диагонали AC и MN делятся пополам.

Таким образом, сторона AC равна стороне NM (диагонали параллелограмма делятся пополам).

Заключение:

Мы показали, что сторона AM равна стороне CN, сторона AN параллельна стороне CM, и сторона AC равна стороне NM. Следовательно, четырехугольник ANCM является параллелограммом.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять, почему четырехугольник ANCM является параллелограммом. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!