Question

ABCD- прямоугольная трапеция. угол A =90 гградусов. точка E лежит на основании AD так, что CE перпендикулярно AD и AE=DE. Точка O середина диогонали AC. Докажите,что BO:BC=CD:AD. Найдите площадь пятиугольника ABOCD,если площадь ACD Равна 20 квадратным сантиметрам.

Answer 1

  Основания трапеции параллельны.

ВС║АD, АВ- секущая.

∠А=90°(дано) ⇒ ∠В=90°

СЕ⊥АD⇒ АВСD- прямоугольник.

СЕ=АВ

  Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. 

а) ∆ ВОС=∆ АОЕ

Е - середина АD, О - середина АС. ⇒

ОЕ - средняя линия ∆ АСD  и параллельна СD. 

   ∆ ACD и ∆ АОЕ подобны ( равны соответственные углы при основаниях). Т.к. ∆ ВОС=∆ АОЕ,  то и ∆ ВОС подобен ∆ АСD

  В подобных треугольниках отношение сходственных сторон равны ⇒  ВО:ВС=СD:AD 

б) СЕ - высота ∆ АСD, АЕ=ЕD.

  Треугольники АСЕ и DCE равны по двум катетам.

Площадь ∆ АСЕ=∆ DСЕ= 20:2=10 см²

В прямоугольных ∆ ВАЕ и ∆ СЕD равны катеты. ⇒

∆ АВЕ = ∆ СЕD

В ∆ АВЕ отрезок АО медиана, 

    Медиана треугольника делит его на равновеликие треугольники. 

АОВ и АОЕ равновелики.

Ѕ АОВ=0,5•Ѕ(АВЕ)=10:2=5см²

Ѕ ABOCD=S(ACD)+S(ABO)=20+5=25 см²

Answer 2

Задача: Прямоугольная трапеция ABCD

Дана прямоугольная трапеция ABCD, где угол A равен 90 градусов. Точка E лежит на основании AD так, что CE перпендикулярно AD и AE = DE. Точка O - середина диагонали AC.

Требуется доказать, что BO:BC = CD:AD и найти площадь пятиугольника ABOCD, если площадь ACD равна 20 квадратным сантиметрам.

Доказательство: BO:BC = CD:AD

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством сходных треугольников.

Обратим внимание на треугольники ADE и BOC. У них есть две пары сторон, пропорциональные друг другу:

1. AE = DE, так как точка E - середина основания AD. 2. AO = OC, так как точка O - середина диагонали AC.

Таким образом, треугольники ADE и BOC подобны.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и BCD. У них также есть две пары сторон, пропорциональные друг другу:

1. AB = BC, так как сторона BC является боковой стороной трапеции. 2. CD = AD, так как сторона CD является основанием трапеции.

Треугольники ABC и BCD также подобны.

Таким образом, у нас имеются две цепочки подобных треугольников: ADE подобен BOC и ABC подобен BCD.

Используя свойство сходных треугольников, мы можем записать пропорции:

ADE подобен BOC: AE/BO = DE/BC

ABC подобен BCD: AB/BC = BC/CD

Мы знаем, что AE = DE и AB = BC (из свойств прямоугольной трапеции), поэтому можем записать:

ADE подобен BOC: AE/BO = DE/BC => AE/BO = AE/CD

Сокращаем AE и получаем:

BO/CD = 1

Таким образом, мы доказали, что BO:BC = CD:AD.

Нахождение площади пятиугольника ABOCD

Для нахождения площади пятиугольника ABOCD, мы можем разделить его на две части: прямоугольник ACD и треугольник ABO.

Площадь прямоугольника ACD равна 20 квадратным сантиметрам, как указано в условии задачи.

Чтобы найти площадь треугольника ABO, нам нужно найти его высоту (h) и основание (AB).

Так как точка O - середина диагонали AC, высота треугольника ABO будет равна половине высоты прямоугольника ACD, то есть h = 1/2 * AD.

Основание треугольника AB равно BC, так как это боковая сторона трапеции. Мы знаем, что BC = CD (из свойств прямоугольной трапеции).

Таким образом, площадь треугольника ABO равна:

Площадь ABO = 1/2 * AB * h = 1/2 * BC * (1/2 * AD)

Подставляем значения:

Площадь ABO = 1/2 * CD * (1/2 * AD)

Так как площадь треугольника ABO равна половине площади прямоугольника ACD, мы можем записать:

Площадь ABO + Площадь ACD = 1/2 * CD * (1/2 * AD) + 20

Известно, что площадь ACD равна 20 квадратным сантиметрам, поэтому:

Площадь пятиугольника ABOCD = 1/2 * CD * (1/2 * AD) + 20

Теперь мы можем вычислить площадь пятиугольника ABOCD, зная значения CD и AD.