Question

Элементарная задача, не могу додуматься. Из точки A, лежащей вне окружности, выходят лучи AB и AC, пересекающие эту окружность. Докажите, что угол BAC измеряется полуразностью дуг окружности,заключённых внутри этого угла.

Answer 1

Пусть точки пересечения луча AB с окружностью E и M , а луча AC - F и N.
Соединим точки M и F    или (E и N ) . MFN внешний угол треугольника 
AMF⇒  <MFN = <A +<AMF ⇔1/2*дугаMN = <A+ 1/2*дугаEF ⇒
<A = (дугаMN - дугаEF)/2.

Answer 2

Пусть точка D - точка пересечения лучей AB и AC с окружностью. Пусть O - центр окружности.

Так как AB и AC - лучи, то точки B и C лежат на разных сторонах от точки A. Поэтому можно сказать, что угол BAC - острый.

Также известно, что угол BOD и угол COE - прямые углы, так как они опираются на диаметры окружности. Здесь O - центр окружности, а точки B, C, D, E лежат на окружности.

Так как угол BOD и угол COE - прямые углы, то углы BOD и COE равны 90 градусам.

Так как угол BOD прямой, а угол BAC острый, то угол BOD больше угла BAC.

Также угол BOD и угол COE - это углы, опирающиеся на дуги BD и CE соответственно.

Так как угол BOD больше угла BAC, то дуга BD больше дуги BA.

Аналогично, угол COE больше угла BAC, и дуга CE больше дуги CA.

Таким образом, угол BAC измеряется полуразностью дуг BD и CE, заключённых внутри этого угла.