Question

1)ABCD паралелограмм,AN и CK перпендикуляры к плоскости ABC.докажите ч то плоскости AND и KBC паралельны. 2)Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника.Докажи что прямая SM,где M -середина гипотенузы,перпендикулярна к плоскости этого треугольника. Помогите пожалуйста,буду очень благодарна

Answer 1

1) параллелограмм АВСД: АВ||СД, ВС||АД
AN⊥ABC и KC⊥AВC
Т.к. если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости (AN⊥AC и КС⊥АС)
Плоскость КВС⊥плоскости АВС, т.к. плоскость КВС проходит через прямую КС, перпендикулярную к АВС (согласно теореме: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны).
Аналогично плоскость ANД⊥плоскости АВС, т.к. плоскость ANД проходит через прямую AN, перпендикулярную к АВС.
Т.к. плоскости  ANД и КВС, перпендикулярные к одной прямой АС, значит они параллельны.

2) Прямоугольный ΔАВС (∠В прямой)
Из точки S опустим перпендикуляр SO на плоскость АВС.
По условию точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника, значит наклонные SA=SB=SC , а следовательно и их проекции на плоскость АВС ОА=ОВ=ОС. Значит О - центр описанной окружности около ΔАВС.
 Т.к. в прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы М, то значит точки О и М совпадают, тогда  SM перпендикулярна плоскости АВС

Answer 2

1) Для доказательства параллельности плоскостей AND и KBC воспользуемся свойством параллелограмма. По условию, AN и CK являются перпендикулярами к плоскости ABC. Рассмотрим параллелограмм ANCK. Из свойств параллелограмма следует, что диагональ AC делит его на два равных треугольника: ANC и CK. Так как AN и CK перпендикулярны к плоскости ABC, то треугольники ANC и CK лежат в этой плоскости. Также из свойств параллелограмма следует, что диагонали AN и CK делят его на два равных треугольника: ANK и CKN. Таким образом, треугольники ANK и CKN лежат в плоскости ABC. Так как треугольники ANK и CKN лежат в одной плоскости и имеют общую сторону NK, то эти треугольники также лежат в одной плоскости. Плоскость, содержащая треугольник ANK, обозначим как плоскость AND. Плоскость, содержащая треугольник CKN, обозначим как плоскость KBC. Таким образом, плоскости AND и KBC лежат в плоскости ABC и параллельны друг другу.

2) Для доказательства перпендикулярности прямой SM к плоскости прямоугольного треугольника воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и леммой о трех перпендикулярах. По условию, точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника, а также не лежит в плоскости этого треугольника. Пусть M - середина гипотенузы треугольника, а H - проекция точки S на гипотенузу. Так как точка S не лежит в плоскости треугольника, то прямая SM не лежит в этой плоскости. Также, так как точка S равноудалена от вершин треугольника, то она лежит на перпендикулярной биссектрисе угла при вершине прямоугольного треугольника. Таким образом, прямая SH является высотой треугольника. Из леммы о трех перпендикулярах следует, что прямая SM, проходящая через середину гипотенузы и перпендикулярная к плоскости треугольника, перпендикулярна к этой плоскости. Таким образом, прямая SM перпендикулярна к плоскости прямоугольного треугольника.