Question

Большее основание равнобедренной трапеции равно 16, а радиус вписанной в нее окружности равен 4. Найдите среднюю линию трапеции.

Answer 1

Опустим из вершин меньшего (верхнего) основания перпендикуляры (по факту высоты) на большее основание. Они будут равны диаметру вписанной окружности D=2r=2*4=8. Тогда они образуют с боковыми сторонами прямоугольные треугольники. Тогда катеты обоих этих треугольников, лежащие на основании (т. е. проекции боковых сторон на основание) по теореме Пифагора будут равны √(x²-64). Тогда меньшее основание будет равно 16-2* √(x²-64). Зная, что по свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон данной трапеции равны, составим и решим уравнение:

2x=16+(16-2* √(x²-64))

2x=32-2* √(x²-64)                                сократим на 2

x=16-√(x²-64)                      

√(x²-64)=16-x                                     возведем обе части в квадрат и получим

x²-64=256-32x+x²                             x² взаимно сокращаются

-64=256-32x

32x=256+62=320

x=320/32=10 - длина боковой стороны

Тогда все по тому же свойству сумма оснований равна сумме боковых сторн, т. е. 10+10=20. Длина же средней линии будет равна половине суммы оснований (по теореме о средней линии), т. е. 20/2=10

Ответ: 10

Answer 2

Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Пусть AB и CD - основания трапеции, причем AB > CD. Тогда середина AB обозначается точкой M, а середина CD - точкой N.

Так как трапеция равнобедренная, то AM = MB, следовательно, AM = MB = 8.

Радиус вписанной в трапецию окружности равен 4. По свойству радиуса вписанной окружности, он является высотой равнобедренной трапеции.

Высота трапеции - это перпендикуляр, опущенный из вершины трапеции на основание. Пусть H - это высота трапеции.

Так как H является высотой равнобедренной трапеции, она делит основание на две равные части. То есть, HD = DC = x. Тогда AD = AB - x = 16 - x.

Так как H - это высота, она также является средней линией, так как она соединяет середины боковых сторон трапеции. То есть, H = MN.

Из прямоугольного треугольника MHD можно получить следующее уравнение:

4^2 = x^2 + 8^2

16 = x^2 + 64

x^2 = 64 - 16

x^2 = 48

x = √48

Так как HD = x, то H = √48.

Таким образом, средняя линия трапеции равна √48.