Question

Докажите что:Теорема. в равнобедренном треугольнике биссектриса проведенная к основанию, является медианой и высотой

Answer 1

В ∆ АВС стороны АВ=ВС, ВК - биссектриса. 

Рассмотрим ∆ АВК и ∆ СВК.  

АВ=ВС, ВК - общая, угол АВК=СВК. ⇒  Треугольники равны по первому признаку: по двум сторонам и углу, заключенному между ними. 

Из равенства треугольников  ∆ АВК и ∆ СВК   следует МК=СК⇒

ВК - медиана ∆ АВС. 

В равных треугольниках углы, противолежащие равным сторонам, равны. ⇒

∠ВКА=∠ВКС

АКС – развернутый угол и равен 180°. 

ВК делит его на два равных с градусной мерой 180°:2=90°  ⇒ 

ВК⊥АС и является высотой равнобедренного треугольника АВС.

Answer 2

Теорема: Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и высотой

Для доказательства теоремы о том, что биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и высотой, мы можем использовать следующие факты:

1. В равнобедренном треугольнике две стороны, выходящие из вершины угла при основании, равны по длине. 2. Биссектриса угла равнобедренного треугольника делит противоположную сторону на две равные части.

Доказательство:

Предположим, у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть BD - биссектриса угла B.

1. Биссектриса является медианой:

Чтобы доказать, что биссектриса BD является медианой, нам нужно показать, что она делит сторону AC на две равные части.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC. Также, по определению биссектрисы, BD делит угол B пополам. Это означает, что угол ABD = угол CBD.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них общая сторона BD и равные углы ABD и CBD. Поэтому, по признаку равенства треугольников (Угол-Угол-Угол), эти треугольники равны.

Из равенства треугольников ABD и CBD следует, что сторона AD = CD. Таким образом, биссектриса BD делит сторону AC на две равные части, что является определением медианы.

2. Биссектриса является высотой:

Чтобы доказать, что биссектриса BD является высотой, нам нужно показать, что она перпендикулярна к основанию AC.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC. Также, по определению биссектрисы, BD делит угол B пополам. Это означает, что угол ABD = угол CBD.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них общая сторона BD и равные углы ABD и CBD. Поэтому, по признаку равенства треугольников (Угол-Угол-Угол), эти треугольники равны.

Из равенства треугольников ABD и CBD следует, что сторона AD = CD. Таким образом, BD является высотой, опущенной из вершины треугольника на основание AC.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и высотой.

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и высотой. Это следует из свойств равнобедренного треугольника и определений медианы и высоты.

]