Question

докажите что центры вписанной в равносторонний треугольник окружности и описанной около него совпадают а их радиусы относятся как 2:1....спасибо заранее

Answer 1

Центром описанной вокруг треугольника окружности является точка пересечения срединных перпендикуляров. Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис. 

В равностороннем треугольнике эти точки совпадают. А так как высоты ( срединные перпендикуляры) такого треугольника в то же время и его биссектрисы и  медианы, а медианы треугольника точкой пересечения делятся в отошении 2:1, то и радиусы данных окружностей имеют такое же отошение. 

Answer 2

Центры вписанной и описанной окружностей в равностороннем треугольнике

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Это свойство можно доказать следующим образом:

Доказательство:

1. Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, где AB = BC = AC. 2. Пусть O1 - центр вписанной окружности треугольника ABC, а O2 - центр описанной окружности. 3. Проведем биссектрисы углов треугольника ABC. Они пересекутся в точке I, которая является центром вписанной окружности. 4. Также проведем перпендикуляры к сторонам треугольника ABC, проходящие через середины этих сторон. Они пересекутся в точке O, которая является центром описанной окружности. 5. Докажем, что точки I и O совпадают.

Доказательство совпадения центров:

- Рассмотрим треугольник ABO. Он является равнобедренным, так как AO = BO (радиус описанной окружности) и угол AOB = 120 градусов (угол в равностороннем треугольнике). - Также рассмотрим треугольник AIO. Он также является равнобедренным, так как AI = IO (радиус вписанной окружности) и угол AIO = 60 градусов (угол в равностороннем треугольнике). - Из равнобедренности треугольников ABO и AIO следует, что угол OAI = угол OBI. - Так как угол OAI + угол OBI = 120 градусов (угол AOB), то угол OAI = 60 градусов. - Это означает, что точка O лежит на биссектрисе угла AOB, которая проходит через точку I. - Следовательно, точки I и O совпадают, и центры вписанной и описанной окружностей в равностороннем треугольнике совпадают.

Таким образом, мы доказали, что центры вписанной и описанной окружностей в равностороннем треугольнике совпадают.

Отношение радиусов вписанной и описанной окружностей

Теперь докажем, что отношение радиусов вписанной и описанной окружностей в равностороннем треугольнике равно 2:1.

Доказательство:

1. Пусть r1 - радиус вписанной окружности, r2 - радиус описанной окружности. 2. В равностороннем треугольнике ABC, каждая сторона равна r2 (радиус описанной окружности). 3. Рассмотрим треугольник AIO, где AI = r1 (радиус вписанной окружности) и IO = r2 (радиус описанной окружности). 4. В треугольнике AIO, угол AIO = 60 градусов (угол в равностороннем треугольнике). 5. Используя тригонометрические соотношения, можно выразить AI и IO через угол AIO: - AI = r1 = r2 * cos(60 градусов) = r2 * 1/2 - IO = r2 6. Таким образом, отношение радиусов вписанной и описанной окружностей равно: - r1:r2 = 1/2:1 = 2:1

Таким образом, мы доказали, что в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают, а их радиусы относятся как 2:1.