Question

50 баллов, с условием и развёрнутым решением, пожалуйста! Из вершины тупого угла B ромба ABCD к сторонам CD и AD проведены перпендикуляры BM и BN (M∈CD, N∈AD). Докажите, что а) BM=BN; б) ∠NBM=∠BAD.

Answer 1

1). Диагональ BD ромба делит его на два равных треугольника.
BN и BM - высоты данных треугольников, проведенные к равным сторонам. В равных треугольниках высоты, проведенные к равным сторонам равны. BM=BN;
2). Сумма углов четырехугольника NBMD=360°.
Обозначим угол B - х, угол D - у;
х+у+90+90=360
х+у=180;
Обозначим угол А ромба - z;
Сумма соседних углов ромба - 180°;
z+y=180;
х+у=180 ⇒ z=x ⇒ ∠NBM=∠BAD

Answer 2

Для доказательства задачи нам понадобится использовать свойства ромба и свойства перпендикуляров.

а) Докажем, что BM=BN. Поскольку ABCD - ромб, то все его стороны равны между собой. Значит, AB=BC=CD=DA. Так как BM и BN - перпендикуляры к сторонам CD и AD соответственно, то BM и BN являются высотами треугольников BCD и BAD. Из свойств высот треугольников следует, что высоты, проведенные к одной и той же стороне, равны. Поэтому BM=BN.

б) Докажем, что ∠NBM=∠BAD. Рассмотрим треугольники BCD и BAD. Учитывая, что BM и BN - высоты этих треугольников, получаем, что углы NBM и MBC равны прямым углам (так как они являются углами, противолежащими основанию прямоугольного треугольника). Также из свойств ромба следует, что углы при основаниях треугольников BCD и BAD также равны между собой. Следовательно

Answer 3

Я могу помочь вам с решением геометрических задач. Ваш вопрос переводится на английский язык как:

Answer in detail. 50 points, with the condition and detailed solution, please! From the vertex of the obtuse angle B of the rhombus ABCD, perpendiculars BM and BN are drawn to the sides CD and AD (M∈CD, N∈AD). Prove that a) BM=BN; b) ∠NBM=∠BAD.

Я нашел один сайт, который содержит решение этой задачи. Вы можете посмотреть его здесь: [Горячие ...](https://hotcore.info/geometriya/2694255). Вот краткое изложение решения:

а) Так как ABCD - ромб, то AB=BC=CD=AD и ∠ABC=∠ADC. Также, так как BM и BN - перпендикуляры к сторонам ромба, то BM⊥CD и BN⊥AD. По теореме Пифагора, имеем:

$$BM^2=BC^2-CM^2=AB^2-AM^2=BN^2$$

Отсюда следует, что $$BM=BN$$.

б) Так как BM и BN - перпендикуляры к сторонам ромба, то ∠MBN=90°. Также, так как ∠ABC=∠ADC, то ∠ABM=∠ADN. По теореме о сумме углов треугольника, имеем:

$$∠NBM=180°-∠MBN-∠ABM=180°-90°-∠ADN=90°-∠ADN$$

$$∠BAD=180°-∠ABC-∠ADC=180°-∠ABC-∠ABC=180°-2∠ABC$$

Так как ABCD - ромб, то ∠ABC=∠CDA. По теореме о сумме углов четырехугольника, имеем:

$$2∠ABC+2∠CDA=360°$$

$$2∠ABC+2∠ABC=360°$$

$$4∠ABC=360°$$

$$∠ABC=90°$$

Отсюда следует, что $$∠BAD=180°-2×90°=0°$$.

Таким образом, $$∠NBM=90°-∠ADN=90°-∠BAD=90°-0°=90°$$.

Надеюсь, это было полезно. Если у вас есть другие вопросы по геометрии, я буду рад помочь. Спасибо за использование Bing!