Question

Окружность с центром O, вписанная в прямоугольный треугольник ABC касается катета BC в точке M . Луч BO пересекает катет AC в точке K . Найдите AK, если CM=4 , BM=8 .

Answer 1

Если окружность касается еще какой-то стороны в точке N, и если обозначить 
AN = y; BM = 8 = x; CM = r = 4; то
(r + x)^2 + (r + y)^2 = (x + y)^2;
или
r^2 + r*(x + y) = x*y;
откуда 
y = r*(x + r)/(x - r) = 4*12/4 = 12;
Стороны треугольника ABC AB = 20; AC = 16; BC = 12; (это египетский треугольник, то есть подобный 3,4,5)
BO - биссектриса, то есть AK/CK = AB/BC; или AK/AC = AB/(AB+BC);
AK = 16*20/(20 + 12) = 10;

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем применить свойства вписанной окружности в прямоугольный треугольник. Давайте разберемся с поставленной задачей шаг за шагом.

Рисуем диаграмму

Для начала, нарисуем прямоугольный треугольник ABC с вписанной окружностью и обозначим точки M и K, как указано в задаче.

            A
           / \
          /   \
         /     \
        /       \
       /         \
      /           \
     /_____________\
    B               C

Пусть точка O обозначает центр вписанной окружности, точка M - точку касания окружности с катетом BC, и точка K - точку пересечения луча BO с катетом AC.

Используем свойства вписанной окружности

Согласно свойству вписанной окружности, угол между касательной и радиусом, проведенным в точке касания, является прямым углом. Это значит, что угол BOM является прямым углом.

Решение

Поскольку угол BOM является прямым углом, то треугольник BOM является прямоугольным треугольником. Мы знаем, что BM = 8, а CM = 4. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины BO:

BM^2 + MO^2 = BO^2

Поскольку BM = 8 и MO равно радиусу окружности, то радиус окружности равен половине стороны BC. Таким образом, радиус окружности равен половине катета BC, то есть равен половине 8, что равно 4.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти BO:

8^2 + MO^2 = BO^2

64 + MO^2 = BO^2

Теперь рассмотрим треугольник BOK. Мы знаем, что угол BOM является прямым углом. Таким образ