Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = x2 + 2 и у = 0; x= -1; x = 3​

Answer 1

Відповідь:    S = 17 1/3 кв. од.

Пояснення:

S = ∫₋₁³( x² + 2 )dx = ( x³/3 + 2x )│₋₁³ = ( 3³/3 + 2 * 3 ) - [ (-1 )³/3 + 2*(- 1 ) ] =

   = 9 + 6 - (- 1/3 - 2 ) = 15 + 2 1/3 = 17 1/3 ( кв. од. ) ;  S = 17 1/3 кв. од.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, нам понадобится найти интеграл функции, описывающей границы фигуры. Дана система уравнений:

у = x^2 + 2 у = 0 x = -1 x = 3

Первые два уравнения описывают границу фигуры сверху и снизу, а последние два уравнения описывают границы слева и справа.

Чтобы найти точки пересечения данных функций, приравняем их друг к другу:

x^2 + 2 = 0

Квадратное уравнение x^2 + 2 = 0 не имеет решений в вещественных числах. Таким образом, граница фигуры не пересекает ось x.

Теперь мы можем построить график функции y = x^2 + 2 и увидеть, как она выглядит:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-2, 4, 400)
y = x**2 + 2

plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.axvline(-1, color='red', linestyle='--', lw=0.5)
plt.axvline(3, color='red', linestyle='--', lw=0.5)
plt.fill_between(x, y, where=(x >= -1) & (x <= 3), color='gray', alpha=0.3)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = x^2 + 2')
plt.grid(True)
plt.show()

Из графика видно, что фигура ограничена линиями у = x^2 + 2 сверху и линией у = 0 снизу. Границы фигуры слева и справа образованы вертикальными линиями x = -1 и x = 3.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл:

from sympy import integrate, symbols

x = symbols('x')
y = x**2 + 2

area = integrate(y, (x, -1, 3))
area

Решив этот интеграл, мы получ