Question

Сумма боковых сторон AB и CD трапеции ABCD равна b, а сумма ее оснований равна a. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке T. Найти MT.

Answer 1

∠A+∠B=180 (внутренние односторонние при параллельных)

Рассмотрим △ABM: ∠A/2 +∠B/2 =90 => ∠M=90

Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных пересекаются под прямым углом.

Пусть Е - середина AB.

Тогда ME - медиана из прямого угла - равна половине гипотенузы.

ME=AB/2

△BEM - равнобедренный, ∠EMB=∠EBM=∠CBM

ME||BC (по накрест лежащим)

Точка пересечения биссектрис углов при боковой стороне трапеции лежит на средней линии.

Итак, точки М и Т лежат на средней линии.

EF =(BC+AD)/2 =a/2

Отрезки ME и TF равны половинам боковых сторон.

ME+TF =(AB+CD)/2 =b/2

Если a>b (то есть EF>ME+TF), то MT =EF-ME-TF =(a-b)/2

Если a<b, то MT =ME-(EF-TF) =(b-a)/2

Если a=b, то MT =0 (точки совпадают)

Ответы можно объединить: MT =|a-b|/2

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрис треугольника и свойствами трапеции.

Дано:

- Сумма боковых сторон AB и CD трапеции ABCD равна b. - Сумма ее оснований равна a. - Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M. - Биссектрисы углов C и D пересекаются в точке T.

Решение:

1. Обозначим длину боковых сторон AB и CD как x и y соответственно. 2. Так как сумма боковых сторон AB и CD равна b, получаем уравнение: x + y = b. 3. Обозначим длину основания трапеции как c. 4. Известно, что сумма оснований трапеции равна a, поэтому получаем уравнение: c + c = a, или 2c = a. 5. Из свойств биссектрис треугольника следует, что биссектриса угла дробит противолежащую ему сторону в отношении, равном отношению других двух сторон треугольника. 6. Применяя это свойство к треугольнику ABM, получим: BM/MA = y/x. 7. Аналогично, для треугольника CDT получим: DT/TC = y/x. 8. Обозначим длину MT как d. 9. Тогда по свойству биссектрис получаем: BM/MA = DT/TC, или y/x = y/(d + x), так как BM = DT и MA = TC. 10. Решим это уравнение относительно d: y/(d + x) = y/x. 11. Умножим обе части уравнения на x(d + x), получим: yx = y(d + x). 12. Раскроем скобки и упростим уравнение: xy = yd + yx. 13. Перенесем все слагаемые с d в одну часть уравнения и вынесем d за скобки: yd - yx = xy. 14. Факторизуем левую часть уравнения: d(y - x) = xy. 15. Разделим обе части уравнения на (y - x), получим: d = xy / (y - x). 16. Подставим значения x и y из уравнения x + y = b в выражение для d, получаем: d = (b - x)x / (b - x). 17. Упростим выражение: d = bx / (b - x). 18. Получили выражение для длины MT: MT = bx / (b - x).

Таким образом, длина MT равна bx / (b - x).