Question

Знайдіть похідну dy/dx функції, користуючись правилом логарифмічного диференціювання. y=x^4^x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y=x^{4^x}$

прологарифмируем обе части

$lny=ln(x^{4^x})=4^xlnx$

теперь продифференцируем

$(lny)' = (4^xlnx)'$

$\frac{1}{y} y' = (4^x)'lnx +4^x(lnx)'$

$\frac{1}{y} y' = 4^xln4*lnx+4^x*\frac{1}{x} =4^x(ln4*lnx+\frac{1}{x} )$

теперь вспоминаем, что у нас    $y=x^{4^x}$   и  y'  это dy/dx получим требуемый ответ

$\frac{dy}{dx} = x^{4^x}*4^x(ln4*lnx+\frac{1}{x} )$

Answer 2

Для знаходження похідної функції y = x^(4^x) скористаємося правилом логарифмічного диференціювання. Це правило говорить, що якщо ми маємо функцію у вигляді y = f(x)^g(x), то похідна цієї функції може бути знайдена за допомогою наступної формули:

dy/dx = (f'(x) * g(x) * ln(f(x))) + (f(x) * g'(x) / f(x))

Де f'(x) - похідна функції f(x), а g'(x) - похідна функції g(x).

У нашому випадку, f(x) = x^4 і g(x) = x. Знайдемо похідні цих функцій:

f'(x) = 4x^(4-1) = 4x^3 g'(x) = 1

Підставимо ці значення у формулу:

dy/dx = (4x^3 * x * ln(x^4)) + (x^4 * 1 / x^4)

dy/dx = 4x^4 * ln(x) + 1

Отже, похідна функції y = x^(4^x) дорівнює 4x^4 * ln(x) + 1.