Question

На сторонах ВС і ВА трикутника АВС позачили відповідно точки D i F так, що СД:ДВ=8:3, BF:FA=3:5. У якому выдношенны пряма DF ділить медіану BE?

Answer 1

По теореме Менелая

CD/DB *BF/FA *AL/LC =1

8/3 *3/5 *AL/LC =1 => AL/LC=5/8

CD/DB *BK/KE *EL/LC =1

AL=5x, AC=3x, AE =1,5 x => EL/LC=6,5/8

8/3 *BK/KE *6,5/8 =1 => BK/KE =6/13

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо властивість про те, що медіана ділиться точкою перетину на дві частини, такі, що вони мають співвідношення, яке дорівнює співвідношенню довжин віддалей від цієї точки до кінців медіани.

Позначимо точку перетину медіани BE з прямою DF як точку G. Тоді, з властивості медіани, ми маємо:

BG:GE = CD:DV (1)

Також, з властивості прямої DF, ми маємо:

BF:FA = BD:DA (2)

З умови задачі, ми знаємо, що CD:DV = 8:3 і BF:FA = 3:5. Замінимо вирази CD:DV і BF:FA у виразах (1) і (2) відповідно.

BG:GE = 8:3 (3) BD:DA = 3:5 (4)

Тепер, враховуючи, що сума співвідношень у виразах (3) і (4) має дорівнювати 1 (тому що BG і BD є віддаленнями від точки B до точки G і D відповідно, а GE і DA є віддаленнями від точки G і D до точки A), ми можемо записати:

BG:GE = 8:11 (5) BD:DA = 3:5 (6)

Таким чином, пряма DF ділить медіану BE в співвідношенні 8:11.