Question

С помощью скалярного произведения докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны, если даны Координаты точек А (2; 4); В (3; 0), C(-4; -4) D(4; -2).​

Answer 1

Доказательство:

Вектор  $\overline {AB}$ имеет проекции

$AB_x = x_B-x_A = 3 - 2 = 1$

$AB_y = y_B-y_A = 0 - 4 = -4$

Вектор  $\overline {CD}$ имеет проекции

$CD_x = x_D-x_C = 4 + 4 = 8$

$CD_y = y_D-y_C = -2 +4 = 2$

Скалярное произведение векторов $\overline {AB}$ и $\overline {CD}$ равно

$\overline {AB}\cdot \overline {CD} = AB_x \cdot CD_x + AB_y \cdot CD_y = \\= 1 \cdot 8 -4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0.$

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Следовательно АВ ⊥ CD.

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности прямых AB и CD с помощью скалярного произведения, нам необходимо показать, что вектор, направленный от точки A к точке B, перпендикулярен вектору, направленному от точки C к точке D.

Шаг 1: Найдем векторы AB и CD

Вектор AB можно найти, вычислив разность координат точек B и A: AB = (3 - 2, 0 - 4) = (1, -4)

Вектор CD можно найти, вычислив разность координат точек D и C: CD = (4 - (-4), -2 - (-4)) = (8, 2)

Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов AB и CD

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, умножив соответствующие координаты векторов и сложив полученные произведения:

AB · CD = (1 * 8) + (-4 * 2) = 8 - 8 = 0

Шаг 3: Проанализируем результат скалярного произведения

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, это означает, что они перпендикулярны друг другу. В нашем случае, AB · CD = 0, что подтверждает перпендикулярность прямых AB и CD.

Таким образом, с помощью скалярного произведения мы доказали, что прямые AB и CD перпендикулярны.