Question

70 БАЛЛОВ: На гипотенузе AB прямоугольного треугольника АВС отмечена точка K, а на отрезке CK – точка N так, что AK : KB = KN : CN = 1 : 2. Найдите площадь треугольника ВСN, если AC = 9, BC = 16.

Answer 1

Ответ:

32 кв. ед.

Объяснение:

Найдем площадь прямоугольного треугольника АВС как половину произведения катетов:

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AC\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot 9\cdot 16=9\cdot 8=72$

• Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению сторон треугольников, к которым проведена эта высота (см. нижний рисунок).

В треугольниках АВС и ВСК можно провести общую высоту из вершины С, тогда

$\dfrac{S_{BCK}}{S_{ABC}}=\dfrac{KB}{AB}$

AK : KB = 1 : 2, значит KВ : AВ = 2 : 3

$S_{BCK}=S_{ABC}\cdot \dfrac{2}{3}=72\cdot \dfrac{2}{3}=24\cdot 2 = 48$

В треугольниках ВСК и BNC можно провести общую высоту из вершины B, тогда

$\dfrac{S_{BNC}}{S_{BCK}}=\dfrac{CN}{CK}$

KN : CN = 1 : 2, значит CN : CK = 2 : 3

$S_{BNC}=S_{BCK}\cdot \dfrac{2}{3}=48\cdot \dfrac{2}{3}=16\cdot 2 = 32$

Answer 2

Problem Analysis

We are given a right triangle ABC, with point K on the hypotenuse AB and point N on the segment CK. It is given that AK:KB = KN:CN = 1:2. We need to find the area of triangle VCN, given that AC = 9 and BC = 16.

Solution

To find the area of triangle VCN, we need to find the lengths of VC and VN. Let's start by finding the length of VC.

Since AK:KB = 1:2, we can assume that AK = x and KB = 2x. Similarly, since KN:CN = 1:2, we can assume that KN = y and CN = 2y.

Using the Pythagorean theorem, we can find the length of AB: AB^2 = AC^2 + BC^2 AB^2 = 9^2 + 16^2 AB^2 = 81 + 256 AB^2 = 337 AB = sqrt(337)

Since AK:KB = 1:2, we can write the following equation: x / 2x = AB / BC 1 / 2 = sqrt(337) / 16 16 = 2 * sqrt(337) sqrt(337) = 8

Now, we can find the length of VC: VC = AC - AV VC = AC - AK VC = 9 - 8 VC = 1

Next, we can find the length of VN: VN = CN - CN VN = 2y - y VN = y

To find the area of triangle VCN, we can use the formula for the area of a triangle: Area = (1/2) * base * height Area = (1/2) * VC * VN Area = (1/2) * 1 * y Area = 1/2 * y

Now, we need to find the value of y. To do that, we can use the fact that AK:KB = 1:2: AK / KB = 1 / 2 x / 2x = 1 / 2 x = 2x 2x = 2x x = x

Since AK = x and AB = sqrt(337), we can write the following equation: x / sqrt(337) = 1 / 2 2x = sqrt(337) x = sqrt(337) / 2

Now, we can find the value of y: KN / CN = 1 / 2 y / 2y = 1 / 2 y = 2y 2y = 2y y = y

Since KN = y and AB = sqrt(337), we can write the following equation: y / sqrt(337) = 1 / 2 2y = sqrt(337) y = sqrt(337) / 2

Finally, we can substitute the value of y into the formula for the area of triangle VCN: Area = 1/2 * y Area = 1/2 * sqrt(337) / 2 Area = sqrt(337) / 4

Therefore, the area of triangle VCN is sqrt(337) / 4.

Answer

The area of triangle VCN is sqrt(337) / 4.