Question

Основание четырехугольной пирамиды `SABCD` – параллелограмм `ABCD`. На ребрах `SB` и `SD` соответственно взяты точки `M` и `P` так, что `BS=3BM`, `SD=3SP`.  Через эти точки проведена плоскость, параллельная `AC`. Постройте сечение пирамиды этой плоскостью и определите в каком отношении оно делит ребро `SC`.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\boldsymbol{ \dfrac{FC}{SF} = \dfrac{5}{4}}}$

Плоскость проходящая через точки M и P и паралелльная AC делит ребро SC в отношении 5 к 4 считая от точки C.

Объяснение:

Дано: SABCD - четырехугольная пирамида,M ∈ SB, P ∈ SD, BS = 3BM, SD = 3SP, ABCD - параллелограмм (в основании пирамиды SABCD)

Построить: сечение паралелльно AC и проходящие через точки P,M

Найти: CF : FS - ?

План построения:

Рассмотрим плоскость ABC. Проведем диагонали в параллелограмме ABCD (по условию), пусть AC ∩ BD = O.

По построению:

• O ∈ BD, a BD ⊂ ABC, то O ∈ ABC

По аксиоме стереометрии (аксиома прямой и плоскости) прямая, проходящая через две точки плоскости, лежит в этой плоскости, тогда:

• Так как M,P ∈ SBD, то MP ⊂ SBD
• Так как O,S ∈ SBD, то OS ⊂ SBD

По аксиоме стереометрии (аксиома пересечения плоскостей) если две плоскости имеют общую точку то их пересечение есть прямая,

тогда по следствию из данной аксиомы:

• Так как O ∈ SBD,ASC и S ∈ SBD,ASC ,то SBD ∩ ASC = SO

Так как MP,SO ⊂ ABC и MP ∦ SO, то (MP ∩ SO) ∈ SBD.

Пусть MP ∩ SO = K.

Так как K ∈ SO и SBD ∩ ASC = SO, то K ∈ SAC.

Через точку K проведем прямую параллельную AC и пусть данная прямая пересекает AS и CS в точках T и F соотвественно, то есть по построению TF║AC.

Так как K ∈ TF и K ∈ MP, то есть TF ∩ MP = K, тогда по опредлению пересекающихся TF и MP - пересекающиеся прямые.

По следствию из аксиом стереометрии плоскость однозначно задается пересекающимеся прямыми, тогда так как TF и MP - пересекающиеся прямые, то данные прямые однозначно задают плоскость MPF, то есть точки T,F,M,P принадлежат одной плоскости.

По теореме (признак параллельности прямой и плоскости) если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то эти прямая и плоскость параллельны, тогда так как по построению TF║AC, то TF║ABC.

Так как TF ⊂ MPF и M,P ∈ MPF. Таким образом сечением пирамиды SABCD плоскость MPF есть четырехугольник TPFM.

Решение:

Проведем прямую BD. Так как BD ⊂ SBD и MP ⊂ SBD, то BD ∩ MP.

Пусть BD ∩ MP = Q, BM = y, SP = x.

По условию:

• BS = 3BM = 3y
• SD = 3SP = 3x

По основному свойству отрезка:

SD = PS + PD ⇒ PD = SD - PS = 3x - x = 2x.

BS = MB + MS ⇒ MS = BS - MB = 3y - y = 2y.

Рассмотрим треугольник ΔSBD.

По теореме Менелая:

$\boxed{\displaystyle \frac{SM}{MB} \cdot \frac{BQ}{QD} \cdot \frac{PD}{SP} = 1}$

$\displaystyle \frac{2y}{y} \cdot \frac{BQ}{QD} \cdot \frac{2x}{x} = 1$

$\displaystyle \frac{4BQ}{QD} = 1 \Longrightarrow \boxed{\displaystyle \frac{BQ}{QD} = \frac{1}{4} }$

Введем коэффициент пропорциональности $z$, тогда $BQ = z, QD = 4z$.

По основному свойству отрезка:

$QD = BQ + BD \Longrightarrow \boldsymbol{ BD} = QD - BQ = 4z - z =\boldsymbol{ 3z}$.

Рассмотрим паралеллограмм ABCD. По свойствам паралеллограмма его диагонали точкой персечения делятся пополам, тогда$DO = BO = BD : 2 = 3z : 2 = 1,5z$.

По основному свойству отрезка:

$QO = BO + BQ = 1,5z + z = 2,5z$

Рассмотрим треугольник ΔSOB.

По теореме Менелая:

$\boxed{\displaystyle \frac{SM}{MB} \cdot \frac{BQ}{QO} \cdot \frac{OK}{SK} = 1}$

$\displaystyle \frac{2y}{y} \cdot \frac{z}{2,5z} \cdot \frac{OK}{SK} = 1$

$\dfrac{2OK}{2,5SK} = 1 \Longrightarrow \boldsymbol{ \dfrac{OK}{SK} } = \dfrac{2,5 \cdot 10}{2 \cdot 10} = \dfrac{25}{20} = \boldsymbol{ \dfrac{5}{4}}$

Рассмотрим треугольник ΔSOC.

По теореме о пропорциональных отрезках:

$\boxed{\boldsymbol{\dfrac{OK}{SK} = \dfrac{FC}{SF} = \dfrac{5}{4}}}$

Answer 2

Для решения данной задачи давайте рассмотрим особенности данной пирамиды и используем данные об отношениях длин сторон.

Поскольку основание четырехугольной пирамиды - параллелограмм ABCD, то стороны параллелограмма можно обозначить как AB, BC, CD и DA. Обозначим вершину пирамиды как S. Тогда, ребра пирамиды будут SA, SB, SC и SD.

Из условия задачи известно, что BS = 3BM и SD = 3SP. Обозначим точку пересечения плоскости, проходящей через M и P и параллельной AC, как O. Тогда, точки M, O и P лежат на одной прямой.

Теперь рассмотрим треугольники BMS и DPS. Учитывая, что BS = 3BM и SD = 3SP, можно сказать, что отношение длин соответствующих сторон в этих треугольниках также равно 3:1. То есть:

\[ \frac{BS}{BM} = \frac{SD}{SP} = 3:1 \]

Теперь рассмотрим параллелограмм ABCD. Так как M и P лежат на сторонах параллелограмма, то линия, соединяющая M и P, параллельна диагоналям параллелограмма.

Таким образом, плоскость, проходящая через M и P и параллельная AC, будет параллельна базе ABCD. Поскольку она также проходит через вершину S, то это сечение будет параллельным основанию ABCD.

Теперь мы можем определить отношение, в котором данная плоскость делит ребро SC. Поскольку треугольники BMS и DPS подобны, то соответствующие отношения равны:

\[ \frac{SO}{SC} = \frac{BM}{BS} = \frac{1}{3} \]

Таким образом, плоскость делит ребро SC в отношении 1:3.