Question

Докажите пожалуйста теорему Биссектриса угла является геометрическим местом точек (ГМТ), принадлежащих углу и равноудаленных от его сторон.

Answer 1

Ответ: По признаку равенства треугольников:

опусти высоты из точки на биссектрисе на стороны угла.

У тебя получатся два треугольника.

У них равны два угла и общая сторона.

Значит они равны.

Значит опущенные высоты - равны.

Значит точка (любая) на биссектриссе равноудалена от сторон.

Answer 2

Для доказательства теоремы о том, что биссектриса угла является геометрическим местом точек (ГМТ), принадлежащих углу и равноудаленных от его сторон, давайте рассмотрим угол ABC, где BC - его сторона, и точку P, равноудаленную от сторон угла.

Пусть точка P лежит на биссектрисе угла ABC, которая делит угол на два равных угла, то есть угол CBP равен углу PBA.

Теперь давайте рассмотрим расстояние от точки P до сторон угла. Пусть \(PD\) и \(PE\) - расстояния от точки P до сторон угла, где \(D\) и \(E\) - точки пересечения биссектрисы с этими сторонами.

Из построения биссектрисы известно, что угол BPD равен углу BPE, так как они являются вертикальными углами. Также, у нас есть угол CBP равный PBA.

Теперь рассмотрим треугольники BPD и BPE. У них угол BPD равен углу BPE, угол PBD равен углу PBE, а сторона BP общая для обоих треугольников. Следовательно, по углу-углу-сторона (УУС) эти треугольники равны.

Из равенства треугольников следует, что BD = BE.

Теперь рассмотрим треугольники CPD и CPE. У них угол CPD равен углу CPE, угол PCD равен углу PCE, а сторона CP общая для обоих треугольников. Следовательно, по УУС эти треугольники также равны.

Из равенства треугольников следует, что CD = CE.

Таким образом, мы доказали, что точка P, равноудаленная от сторон угла ABC, лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, биссектриса угла является геометрическим местом точек, равноудаленных от его сторон.