Question

44. В выпуклом четырѐхугольнике ABCD известно, что ∠ABC = 116, ∠ADC = 64, ∠CAB = 35 и ∠CAD = 52. Найдите угол между диагоналями, опирающийся на сторону AB. 46. Площадь круга, ограниченного некоторой окружностью, равна 12π, АС – диаметр этой окружности, точка О – ее центр. Точка В лежит на окружности, причем площадь треугольника АОВ равна 3. Найдите величину угла САВ. 48. Длина окружности равна 10π, АС – диаметр этой окружности. Точка В лежит на окружности, причем площадь треугольника АВС равна 15. Найдите величину угла САВ. 50А. Дана окружность радиуса 25. Точка М – середина радиуса ОK. Хорда АС перпендикулярна радиусу ОK, В – точка их пересечения. Найти расстояние ВМ, если известно, что AB – BK = 6.

Answer 1

Объяснение:

, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Answer 2

Задача 44: В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABC = 116°, ∠ADC = 64°, ∠CAB = 35° и ∠CAD = 52°. Найдите угол между диагоналями, опирающийся на сторону AB.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством углов в четырёхугольнике: сумма углов противоположных сторон равна 180°.

1. Найдем угол BCD: \[ \angle BCD = 180° - \angle ABC - \angle ADC = 180° - 116° - 64° = 0° \]

2. Следовательно, угол BCD равен 0°, что означает, что точки B, C и D лежат на одной прямой. Четырёхугольник ABCD стал выпуклым.

3. Теперь угол между диагоналями ABCD равен сумме углов CAB и CAD: \[ \text{Угол между диагоналями} = \angle CAB + \angle CAD = 35° + 52° = 87° \]

Ответ: Угол между диагоналями четырёхугольника ABCD, опирающийся на сторону AB, равен 87°.

---

Задача 46: Площадь круга, ограниченного некоторой окружностью, равна \(12\pi\). AC – диаметр этой окружности, точка O – её центр. Точка B лежит на окружности, причем площадь треугольника AOB равна 3. Найдите величину угла CAB.

1. Площадь круга равна \(\pi r^2\), где \(r\) – радиус. Так как \(12\pi\) – площадь, то \(r^2 = 12\), и \(r = 2\sqrt{3}\).

2. Точка M – середина отрезка OK, а \(AB - BK = 6\), следовательно, \(AK = 6\). Так как \(AC\) – диаметр, то \(AO = CO = \frac{AC}{2} = 3\).

3. Рассмотрим треугольник AOB. Площадь треугольника можно найти по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AO\). Подставим известные значения: \[ 3 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 3 \implies AB = 2 \]

4. Теперь мы знаем длины сторон треугольника AOB. Мы можем использовать закон косинусов для нахождения угла CAB: \[ \cos(\angle CAB) = \frac{AB^2 + AO^2 - OB^2}{2 \cdot AB \cdot AO} \]

Подставим значения: \[ \cos(\angle CAB) = \frac{2^2 + 3^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4 + 9 - 12}{12} = \frac{1}{6} \]

Теперь найдем угол CAB, взяв арккосинус от \(\frac{1}{6}\).

Ответ: Угол CAB равен \(\arccos\left(\frac{1}{6}\right)\).

---

Задача 48: Длина окружности равна \(10\pi\), AC – диаметр этой окружности. Точка B лежит на окружности, причем площадь треугольника ABC равна 15. Найдите величину угла CAB.

1. Длина окружности равна \(2\pi r\), где \(r\) – радиус. Так как длина окружности равна \(10\pi\), то \(2\pi r = 10\pi\), откуда \(r = 5\).

2. Площадь треугольника ABC можно выразить через радиус и угол CAB: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot r\). Подставим известные значения: \[ 15 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 5 \implies AC = 6 \]

3. Теперь мы знаем длину стороны AC. Мы можем использовать закон косинусов для нахождения угла CAB: \[ \cos(\angle CAB) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \]

Подставим значения: \[ \cos(\angle CAB) = \frac{AB^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot AB \cdot 6} \]

Мы также знаем, что \(AB = BC\) (так как это хорда, проходящая через центр). Подставим это: \[ \cos(\angle CAB) = \frac{AB^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot AB \cdot 6} = \frac{AB^2 + 36 - 25}{2 \cdot AB \cdot 6} \]

Теперь, используя площадь треугольника, мы можем выразить \(AB\) через \(AC\) и угол CAB: \(AB = 2 \cdot AC \cdot \sin(\angle CAB)\).

Подставим это в уравнение: \[ \cos(\angle CAB) = \frac{(2 \cdot AC \cdot \sin(\angle CAB))^2 + 36 - 25}{2 \cdot 2