Question

Прямоугольный треугольник с острым углом 30° вписан в окружность радиуса 8 см. Из центра О окружности проведен перпендикуляр ОР к плоскости круга. Найти расстояние от точки Р до катетов треугольника, если ОР = 3 см С решением пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

Расстояния от точки Р до катетов треугольника АС и СВ соответственно равны 5 см и √57 см.

Объяснение:

Прямоугольный треугольник с острым углом 30° вписан в окружность радиуса 8 см. Из центра О окружности проведен перпендикуляр ОР к плоскости круга. Найти расстояние от точки Р до катетов треугольника, если ОР = 3 см.

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

∠А = 30°;

Окр.О - описана около ΔАВС;

R = 8 см;

ОР ⊥ плоскости круга; ОР = 3 см.

Найти: расстояние от Р до катетов АС и СВ.

Решение:

• Расстояние от точки до прямой - перпендикуляр, опкщенный из данной точки на данную прямую.

⇒ РК ⊥ АС; РМ ⊥ СВ.

⇒ Искомые отрезки РК и РМ.

• Если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

⇒ РО ⊥ ОМ; РО ⊥ ОК.

1. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

Окр.О - описанная.

• Прямой вписанный угол опирается на диаметр.

⇒ АВ диаметр Окр.О.

АО = ОВ = 8 см.

• Диаметр равен двум радиусам.

⇒ АВ = 8 · 2 = 16 (см)

∠А = 30°.

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ СВ = 16 : 2 = 8 см

По теореме Пифагора найдем АС:

АС² = АВ² - СВ² = 256 - 64 = 192

АС = √192 = 8√3 (см)

2. Рассмотрим ΔОРМ - прямоугольный.

РМ ⊥ СВ.

• Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

⇒ ОМ ⊥ СВ.

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ ОМ || АС.

• Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

⇒ ОМ - средняя линия ΔАВС.

• Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает.

⇒ ОМ = АС : 2 = 4√3 (см).

По теореме Пифагора найдем РМ:

РМ² = ОР² + ОМ² = 9 + 16 · 3 = 57

РМ = √57 см

3. Рассмотрим ΔКРО - прямоугольный.

Аналогично п. 2:

КО = СВ : 2 = 4 (см).

По теореме Пифагора найдем РК:

РК² = ОР² + КО² = 9 + 16 = 25

РК = √25 = 5 (см)

Расстояния от точки Р до катетов треугольника АС и СВ соответственно равны 5 см и √57 см.

#SPJ1

Answer 2

Задача: Найти расстояние от точки Р до катетов треугольника, если ОР = 3 см.

Решение:

Для начала, давайте построим схему данной задачи, чтобы лучше понять, что нам нужно сделать:

1. Окружность с центром в точке О и радиусом 8 см. 2. Прямоугольный треугольник, вписанный в эту окружность, с острым углом 30°. 3. Перпендикуляр ОР, проведенный из центра О окружности к плоскости круга. 4. Нам нужно найти расстояние от точки Р до катетов треугольника.

Давайте разобьем решение на несколько шагов:

Шаг 1: Найдем длину гипотенузы треугольника.

Так как у нас есть острый угол 30°, то мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти длину гипотенузы треугольника.

Для этого воспользуемся формулой синуса: sin(30°) = противолежащий катет / гипотенуза

Мы знаем, что радиус окружности равен 8 см, поэтому гипотенуза равна 2 * радиус = 2 * 8 см = 16 см.

Теперь мы можем найти противолежащий катет, подставив значения в формулу:

sin(30°) = противолежащий катет / 16 см

Зная, что sin(30°) = 1/2, мы можем решить уравнение:

1/2 = противолежащий катет / 16 см

Противолежащий катет = (1/2) * 16 см = 8 см

Таким образом, длина противолежащего катета треугольника равна 8 см.

Шаг 2: Найдем длину катета треугольника.

Мы знаем, что ОР = 3 см, поэтому, по теореме Пифагора, квадрат длины катета равен квадрату гипотенузы минус квадрат ОР:

квадрат катета = квадрат гипотенузы - квадрат ОР

квадрат катета = 16^2 - 3^2

квадрат катета = 256 -