Question

у прямокутному трикутнику один з гострів кутів удвічі менший за другій, а різниця гіпотинузи й меньшого катету дорівнює 12 см. Знайдить гіпотинузу

Answer 1

Доброго вечора. До Вашої уваги розв'язання задачі.

Відповідь: 24 см.

Answer 2

Відповідь:

Гіпотенуза дорівнює 24 сантиметрів.

Пояснення:

Нехай один з гострих кутів 2х

тоді другий, удвічі менший х

Сума гострих кутів прямокутного трикутника 90°

2х+х=90

3х=90

х=90:3

х=30

Отже один з кутів 30°, а другий 60°

Менший катет лежить навпроти меншого кута, тобто навпроти 30°.

Відомо, що навпроти 30° лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи.

Отож, позначимо менший катет у, тоді гіпотенуза 2у.

2у-у=12

у=12

Тоді гіпотенуза дорівнює 2у=2*12=24 см.

Answer 3

Давай розглянемо це. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів завжди менший за другий, тому гострий кут можна позначити, скажімо, як \( x \) градусів, а другий буде \( 2x \) градусів.

У прямокутному трикутнику гіпотенуза \( c \) завжди є найбільшим відрізком, а катети \( a \) та \( b \) є його меншими сторонами. Таким чином, ми знаємо, що \( c - b = 12 \) (оскільки різниця гіпотенузи \( c \) та меншого катету \( b \) дорівнює 12 см).

Також, в прямокутному трикутнику є відомий факт, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи за теоремою Піфагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Ми можемо використати ці відомості, щоб знайти відповідь. Нам треба скласти систему рівнянь:

1. \( c - b = 12 \) 2. \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Тепер згадаємо, що кут \( x \) є меншим з гострих кутів. Це означає, що \( b \) буде більшим катетом, а \( a \) - меншим. Тобто, \( b = c \cdot \sin(x) \) і \( a = c \cdot \cos(x) \).

Підставимо ці вирази у систему рівнянь:

1. \( c - c \cdot \cos(x) = 12 \) 2. \( c^2 \cdot \cos^2(x) + c^2 \cdot \sin^2(x) = c^2 \) 3. \( c^2 = c^2 \) (якщо врахувати \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \))

Тепер можемо розв'язати перше рівняння відносно \( c \):

\( c - c \cdot \cos(x) = 12 \)

Розкриваємо дужки:

\( c - c \cdot \cos(x) = 12 \) \( c (1 - \cos(x)) = 12 \) \( c = \frac{12}{1 - \cos(x)} \)

Для знаходження значення \( x \) ми можемо скористатися фактом, що \( x \) і \( 2x \) - це дві гострі кути прямокутного трикутника. Тобто, \( x + 2x = 90^\circ \), або \( 3x = 90^\circ \), отже, \( x = 30^\circ \).

Підставимо \( x = 30^\circ \) у вираз для \( c \):

\( c = \frac{12}{1 - \cos(30^\circ)} \) \( c = \frac{12}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} \) \( c = \frac{12}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} \) \( c = \frac{24}{2 - \sqrt{3}} \) \( c = \frac{24 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} \) \( c = \frac{24 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 - 3} \) \( c = \frac{24 \cdot (2 + \sqrt{3})}{1} \) \( c = 24 \cdot (2 + \sqrt{3}) \)

Таким чином, гіпотенуза \( c \) прямокутного трикутника дорівнює \( 24 \cdot (2 + \sqrt{3}) \) см.