Question

В равнобедренном треугольнике ABC, где AB=BC, провели высоту BH и выбрали на ней такую точку K, что ∠AKC=2∠ABC. Докажите, что 2AK меньше, чем ВН + АС/2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

ΔАВС, АВ=ВС

ВН -высота, ВН⊥АС

∠AKC=2∠ABC

Док., 2АК < (ВН +АС/2)

-------------------
1) Пусть ∠ABC = х°, тогда ∠AKC = 2х°

2), Т.к. высота в прямоугольном Δ-ке является медианой и биссектрисой, то
АН = НС и ∠АВН =∠НВС = х°/2

Точка К лежит на серединном перпендикуляре (АН = НС и ВН⊥АС), следовательно,

ΔАКС тоже равнобедренный и ∠АКН = ∠НКС = 2х/2 = х°

3) Рассм. прямоугольные ΔКНА и ΔВНА ( ВН⊥АС по условию)

Т.к. сумма углов Δ-ка = 180°, то из ΔКНА:

∠КАН = 180° - 90° - х = 90° - х°

из ΔВНА:   ∠ВАН = 90° - х/2

Тогда ∠ВАК = ∠ВАН - ∠КАН = 90° - х°/2 -(90° - х°) = х°/2

4) Т.о. , получили, что в ΔАКВ ∠ВАК = ∠АВК = х°/2, т.е

ΔАКВ - равнобедренный и АК =ВК

5) Сумма 2-х  сторон в Δ-ке всегда больше 3-ей, т.е.

АК +ВК > АВ или 2АК > АВ

В свою очередь из ΔАВН следует, что АВ < ВН+АН или

АВ < ВН + АС/2

6) ВН + АС/2 < АВ < 2АК

2АК > ВН + АС/2

Получилось, что больше.

Answer 2

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=BC. Проведем высоту BH из вершины B и выберем точку K на этой высоте так, что угол ∠AKC равен углу ∠ABC.

Также, обозначим угол ∠ABC как α.

Теперь рассмотрим треугольник ABH. Он является прямоугольным треугольником, и мы знаем, что у него прямой угол при вершине B. Таким образом, угол ∠ABH равен 90 - α.

Также, в треугольнике ABH, у нас есть равенство углов: ∠ABH = ∠AKC (по условию задачи).

Теперь давайте рассмотрим треугольник AKC. Угол ∠AKC равен 2α (по условию задачи).

Теперь у нас есть равенство углов:

∠ABH = ∠AKC = 90 - α.

Таким образом, ∠AKC равен 90 - α. Но мы также знаем, что ∠AKC равен 2α. Приравняем эти два значения:

90 - α = 2α.

Решим это уравнение:

3α = 90.

α = 30.

Теперь, у нас есть значение угла α. Мы знаем, что ∠ABC = α, следовательно, ∠ABC = 30 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для решения задачи.

В прямоугольном треугольнике ABH:

\(\tan(\angle ABC) = \frac{BH}{AB} = \frac{BH}{BC}.\)

Так как AB=BC, мы можем заменить BC на AB:

\(\tan(30) = \frac{BH}{AB}.\)

Так как \(\tan(30) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), у нас получается:

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BH}{AB}.\)

Умножим обе стороны на AB:

\(BH = \frac{AB}{\sqrt{3}}.\)

Теперь рассмотрим отношение \(2AK\) к \(BH + \frac{AC}{2}.\)

\(\frac{2AK}{BH + \frac{AC}{2}}.\)

Подставим \(BH = \frac{AB}{\sqrt{3}}\) и \(AC = 2AB\):

\(\frac{2AK}{\frac{AB}{\sqrt{3}} + \frac{2AB}{2}}.\)

Упростим выражение:

\(\frac{2AK}{\frac{AB}{\sqrt{3}} + AB}.\)

Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от знаменателя в числителе:

\(\frac{2AK \cdot \sqrt{3}}{AB + AB \cdot \sqrt{3}}.\)

Факторизуем AB:

\(\frac{2AK \cdot \sqrt{3}}{AB \cdot (1 + \sqrt{3})}.\)

Теперь у нас есть отношение \(2AK\) к \(BH + \frac{AC}{2}\) в более удобной форме. Нам нужно показать, что это отношение меньше 1:

\(\frac{2AK \cdot \sqrt{3}}{AB \cdot (1 + \sqrt{3})} < 1.\)

Умножим обе стороны на \(AB \cdot (1 + \sqrt{3})\):

\(2AK \cdot \sqrt{3} < AB \cdot (1 + \sqrt{3}).\)

Разделим обе стороны на \(\sqrt{3}\):

\(2AK < AB \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}.\)

Упростим выражение:

\(2AK < AB \cdot \sqrt{3}.\)

Так как \(AB \cdot \sqrt{3} = BH\), мы получаем:

\(2AK < BH.\)

Таким образом, доказано, что \(2AK\) меньше, чем \(BH + \frac{AC}{2}\).