Question

3. В прямоугольном треугольнике ABC 2C=90° и 2B-30°. На отрезке ВС взята точка Е таким образом, что AEC=60°. Найдите длину стороны ВЕ, если ЕС=5 см.​

Answer 1

Рассмотрим треугольник с углами 30°, 60°, 90°

Катет против угла 30 равен половине гипотенузы.

Пусть этот катет x, гипотенуза 2x

Второй катет по теореме Пифагора =√(4x^2 -x^2) =x√3

Доказали, что в треугольнике с углами 30°, 60°, 90° стороны относятся 1 : √3 : 2

CE/AC =1/√3

AC/BC =1/√3

=> CE/BC =1/3

=> CE/BE =1/2 => BE=10 (см)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами прямоугольных треугольников и треугольников, образованных внутри них.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов (2C = 90°). Из условия также известно, что 2B - 30°. Таким образом, угол B равен (2B - 30°) / 2.

Теперь давайте посмотрим на треугольник AEC. Мы знаем, что AEC = 60°.

Так как у нас прямоугольный треугольник ABC, углы B и C в сумме дают 90 градусов:

\[B + C = 90°.\]

Из условия задачи мы знаем, что \(2C = 90°\), следовательно, \(C = 45°\).

Теперь мы можем найти угол B:

\[B + 45° = 90°,\]

отсюда \(B = 45°\).

Теперь у нас есть значения углов B и C, и мы можем найти угол A:

\[A + B + C = 180°,\]

\[A + 45° + 45° = 180°,\]

отсюда \(A = 90°\).

Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным треугольником, где углы равны 90°, 45° и 45°.

Теперь рассмотрим треугольник ABE. У нас есть углы A и B, и мы знаем, что угол AEC = 60°. Таким образом, угол BEC (угол B в треугольнике ABE) равен 180° - 60° = 120°.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник BEC, где BEC = 120°, B = 45° и C = 45°.

Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, угол BEC + угол B + угол C = 180°:

\[120° + 45° + 45° = 180°.\]

Таким образом, углы в треугольнике BEC корректны.

Теперь мы знаем, что у нас есть равнобедренный треугольник BEC с углом при основании B равным 45°. Такой треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником, и мы можем использовать его свойства для нахождения длины стороны BE.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике длина боковой стороны при угле 45° равна \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) раз длине гипотенузы.

Теперь давайте обозначим длину стороны BE через \(x\), тогда длина стороны BC (гипотенузы) равна \(x\sqrt{2}\). У нас также есть, что EC = 5 см.

Теперь мы можем написать уравнение:

\[BC = BE + EC,\]

\[x\sqrt{2} = x + 5.\]

Решая это уравнение, найдем длину стороны BE:

\[x\sqrt{2} - x = 5,\]

\[x(\sqrt{2} - 1) = 5,\]

\[x = \frac{5}{\sqrt{2} - 1}.\]

Чтобы избавиться от знаменателя в выражении, умножим и делите его на \(\sqrt{2} + 1\):

\[x = \frac{5(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}.\]

Упростим:

\[x = \frac{5(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1}.\]

Теперь у нас есть значение для x:

\[x = 5(\sqrt{2} + 1).\]

Таким образом, длина стороны BE равна \(5(\sqrt{2} + 1)\) см.