Question

даю 50 балів . У конус вписаний циліндр. Твірна конуса L нахилена до площини основи під кутом альфа. яким має бути радіус циліндра якщо об'єм циліндра був максимальним із можливих​

Answer 1

Ответ:Для решения этой задачи мы можем использовать принцип максимума и минимума, который гласит, что функция достигает экстремума в точке, где её производная равна нулю.

Обозначим радиус цилиндра через r, а высоту цилиндра через h. Также обозначим угол между образующей конуса и плоскостью основания через α.

Объем цилиндра можно выразить через r и h:

V = πr^2h

Для нахождения максимального объёма цилиндра, мы можем воспользоваться методом Лагранжа. Для этого нужно составить функцию Лагранжа, которая будет иметь вид:

L = πr^2h + λ(2πrh + L^2cotα)

где λ - множитель Лагранжа, а последнее слагаемое - это выражение для высоты конуса, которое получается из теоремы Пифагора.

Чтобы найти максимум этой функции, необходимо найти значения r, h и λ, при которых производные функции L по r, h и λ равны нулю. Таким образом, мы получим систему уравнений:

∂L/∂r = 2πrh + 2πλr = 0

∂L/∂h = πr^2 + 2πλLcotα = 0

∂L/∂λ = 2πrh + L^2cotα = 0

Решив эту систему уравнений относительно r и h, мы найдём:

r = L/(2cotα + 4λ)

h = L^2cotα/(8πλ)

Подставив эти значения в уравнение для объёма цилиндра, получим:

V = πr^2h = πL^3cotα/(8(1 + 2cotαλ)^2)

Найдём значение λ, при котором V достигает максимального значения. Для этого найдём производную V по λ и приравняем её к нулю:

dV/dλ = -3πL^3cotα(2cotαλ - 1)/(8(2cotαλ + 1)^3) = 0

2cotαλ = 1

λ = 1/(2cotα)

Подставим значение λ в выражения для r и h:

r = L/(2cotα + 4/2cotα) = L/(6cotα)

h = L^2cotα/(8π/2cotα) = L^2cot^2α/(4π)

Таким образом, радиус цилиндра должен быть равен L/(6cotα), чтобы объём цилиндра был максимальным из возможных.

Answer 2

При розв'язанні цього завдання ми можемо скористатися принципом максимуму та мінімуму. Щоб знайти радіус циліндра, який максимізує об'єм, спочатку знайдемо вираз для об'єму циліндра, а потім знайдемо його максимальне значення.

Знайдемо вираз для об'єму циліндра:

Об'єм циліндра можна обчислити за формулою: V = πr^2h, де r - радіус циліндра, h - висота циліндра.

Знайдемо вираз для висоти циліндра:

Висота циліндра може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора. Зауважимо, що твірна конуса L є гіпотенузою прямокутного трикутника, а висота циліндра h є його катетом. Тоді можна записати наступну рівність: L^2 = h^2 + r^2.

Знайдемо вираз для твірної конуса:

Твірна конуса може бути знайдена за допомогою тригонометричних співвідношень. За умовою, твірна конуса L нахилена до площини основи під кутом α. Тоді можна записати наступну рівність: L = r * tan(α).

Знайдемо вираз для об'єму циліндра:

Підставимо вираз для висоти циліндра h з рівняння теореми Піфагора в формулу об'єму циліндра: V = πr^2h = πr^2 * √(L^2 - r^2).

Знайдемо максимальне значення об'єму циліндра:

Щоб знайти максимальне значення об'єму циліндра, візьмемо похідну від формули об'єму по відношенню до r, прирівняємо її до нуля і знайдемо значення r, яке задовольняє це рівняння. Далі перевіримо, чи це значення є максимумом або мінімумом, використовуючи другу похідну.

Запишемо рівняння для похідної:

dV/dr = 2πr * √(L^2 - r^2) - πr^2 * (L^2 - r^2)^(-1/2) * 2r

Прирівняємо похідну до нуля і розв'яжемо рівняння:

2πr * √(L^2 - r^2) - πr^2 * (L^2 - r^2)^(-1/2) * 2r = 0

Спростимо рівняння:

2πr * √(L^2 - r^2) = 2πr^2 * (L^2 - r^2)^(-1/2) * r

Скасуємо спільний множник 2πr:

√(L^2 - r^2) = r * (L^2 - r^2)^(-1/2)

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

L^2 - r^2 = r^2 * (L^2 - r^2)^(-1)

Помножимо обидві частини рівняння на (L^2 - r^2):

L^2(L^2 - r^2) - r^2(L^2 - r^2) = r^2

Розкриємо дужки:

L^4 - L^2r^2 - L^2r^2 + r^4 - r^2L^2 + r^4 = r^2

Спростимо рівняння:

2r^4 - 2L^2r^2 + L^4 = r^2

Перепишемо рівняння у квадратній формі:

2r^4 - (2L^2 + 1)r^2 + L^4 = 0

Знайдемо значення r, яке задовольняє це рівняння:

Застосуємо квадратне рівняння до отриманого виразу і знайдемо значення r, яке задовольняє це рівняння. Враховуючи, що радіус не може бути від'ємним, виберемо лише додатні значення r.

Перевіримо, чи це значення є максимумом або мінімумом:

Для цього візьмемо другу похідну від формули об'єму по відношенню до r і підставимо значення r, яке ми знайшли, в цю похідну. Якщо друга похідна менше нуля, то значення r є максимумом об'єму циліндра.

Відповідь:

Знайдемо значення r, яке задовольняє квадратне рівняння, і перевіримо, чи це значення є максимумом або мінімумом об'єму циліндра.