Question

Вписане в прямокутний трикутник ABC коло дотикається до катетів AC і СВ в точках Li М. Знайдіть довжину ламаної LABM, якщо АВ = 20 см. Даю 50 баллов помогите плиз​

Answer 1

Відповідь:

на фото

Пояснення:

Теорема (про властивість відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола.) Відрізки дотичних до кола, проведені з однієї точки, рівні

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо властивість трикутника, вписаного в коло: точка дотику кола до сторони трикутника є точкою дотику до середини цієї сторони.

Зауважимо, що точка дотику кола до катетів утворює прямокутний трикутник з центром кола. Оскільки катети \(AC\) і \(BC\) дотикаються до кола в точках \(L\) та \(M\) відповідно, \(LM\) є діаметром кола.

Отже, \(LM\) є гіпотенузою прямокутного трикутника, а значить, \(LM\) - це діаметр кола.

Тепер, знаючи, що \(AB = 20 \, \text{см}\) і \(LM\) - діаметр кола, можемо використати теорему Піфагора для знаходження довжини ламаної \(LABM\):

\[LM^2 = LA^2 + AM^2\]

Дізнаємося довжину \(LM\) (діаметр кола):

\[LM = AB = 20 \, \text{см}\]

Тепер можемо знайти довжину ламаної \(LABM\):

\[LM^2 = LA^2 + AM^2\] \[20^2 = LA^2 + AM^2\] \[400 = LA^2 + AM^2\]

Отже, нам не відомі \(LA\) і \(AM\), але ми можемо виразити їх через довжину ламаної \(LABM\) та діаметр \(LM\):

\[LA = \frac{1}{2} \cdot LABM\] \[AM = \frac{1}{2} \cdot LABM\]

Підставимо ці значення у рівняння:

\[400 = \left(\frac{1}{2} \cdot LABM\right)^2 + \left(\frac{1}{2} \cdot LABM\right)^2\] \[400 = \frac{1}{4} \cdot LABM^2 + \frac{1}{4} \cdot LABM^2\] \[400 = \frac{1}{2} \cdot LABM^2\]

Тепер знайдемо значення довжини ламаної \(LABM\):

\[LABM^2 = \frac{400}{\frac{1}{2}}\] \[LABM^2 = 800\]

\[LABM = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \approx 28.28 \, \text{см}\]

Отже, довжина ламаної \(LABM\) дорівнює приблизно \(28.28 \, \text{см}\).