Question

Вписане в прямокутний трикутник ABC коло дотикається до катетів АС і СВ в точках Р і К. Знайдіть довжину ламаної КВАР, якщо АВ = 17 см. Прошу ГЛАВНЫЙ МОЗГ САЙТА помогите, пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

34

Объяснение:

решение на фото

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо властивість про вписані кути, яка каже, що кут між касательною до кола і радіусом, проведеним до точки дотику, дорівнює півсумі внутрішніх кутів трикутника, з яким касательна торкається.

Позначимо довжини катетів АС і СВ як "а" і "b" відповідно. Нехай довжина ламаної КВАР буде позначена як "х".

Оскільки коло дотикається до катетів АС і СВ в точках Р і К, то радіуси кола, проведені до цих точок, будуть перпендикулярними до катетів. Отже, ми отримуємо два прямокутні трикутники АРО і КРВ.

Застосуємо тепер властивість про вписані кути для трикутників АРО і КРВ. Зауважимо, що кут АРО є внутрішнім кутом трикутника КРВ, і кут КВР є внутрішнім кутом трикутника АРО. Тому ми можемо записати наступні рівності:

1. Кут КРВ = (180 - кут АРО)/2
2. Кут АРО = (180 - кут КВР)/2

Але ми також знаємо, що кут АРО і КВР є півсумою внутрішніх кутів трикутника ABC:

кут АРО + кут КВР = (180 - прямий кут ABC)/2 + (180 - прямий кут ABC)/2 = (180 - прямий кут ABC)

Отже, застосовуючи ці рівності, ми отримуємо:

1. (180 - кут АРО)/2 = (180 - прямий кут ABC)
2. (180 - кут КВР)/2 = (180 - прямий кут ABC)

Знаючи, що прямий кут ABC = 90 градусів, ми можемо зв'язати кути КРВ і АРО з кутом АВС.

1. (180 - кут АРО)/2 = (180 - 90)

2. (180 - кут КВР)/2 = (180 - 90)

3. (180 - кут АРО)/2 = 90

4. (180 - кут КВР)/2 = 90

5. 180 - кут АРО = 180

6. 180 - кут КВР = 180

7. кут АРО = 0

8. кут КВР = 0

Це означає, що кути АРО і КВР дорівнюють нулю, що означає, що трикутники АРО і КРВ є прямокутними. Оскільки ОР є радіусом кола, а ОВ є висотою трикутника АВС, то вони взаємно перпендикулярні. Звідси випливає, що трикутник ОВК також є прямокутним.

Ми знаємо, що АВ = 17 см, і КО = КР = а, тому КВ = 17 - 2а.

Застосуємо теорему Піфагора до трикутника ОВК:

ОК² + КВ² = ОВ²

а² + (17 - 2а)² = (17 - а)²

а² + 289 - 68а + 4а² = 289 - 34а + а²

5а² - 34а = 0

а(5а - 34) = 0

Отже, а = 0 або а = 34/5

Оскільки а не може бути нулем (оскільки це довжина катета), то а = 34/5.

Тому КВ = 17 - 2а = 17 - 2(34/5) = 17 - 68/5 = 85/5 - 68/5 = 17/5.

Отже, довжина ламаної КВАР дорівнює 17/5 см.