Question

Помогите пожалуйста! У трикутнику MNF проведені висоти FK і ND. Відомо, що кут DNF рівний куту KFN. Доведіть, що ND=FK.

Answer 1

Ответ:

Доказано, что  ND = FK.

Объяснение:

В треугольнике MNF проведены высоты FK и ND. Известно, что угол DNF равен углу KFN. Докажите, что ND=FK.

Дано: ΔMNF;

FK и ND - высоты;

FK ∩ ND = О;

∠DNF = ∠KFN.

Доказать: ND = FK

Доказательство:

1. Рассмотрим ΔONF.

∠DNF = ∠KFN (условие)

• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

⇒ NO = OF

2. Рассмотрим ΔKNO и ΔDOF - прямоугольные.

NO = OF (п.1)

• Вертикальные углы равны.

⇒ ∠KON = ∠DOF (вертикальные)

ΔKNO = ΔDOF (по гипотенузе и острому углу)

⇒ ОК = OD (соответственные элементы).

3. ND = NO + OD

    FK = OF + OK

⇒ ND = FK

#SPJ1

Answer 2

Для доведення, що ND = FK, ми можемо скористатися властивостями трикутників та інформацією, яка нам дана.

Властивості трикутників:

1. Всі внутрішні кути трикутника разом складають 180 градусів. 2. У прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, розбиває його на два подібні трикутники.

Доведення:

1. За умовою задачі, кут DNF дорівнює куту KFN. Це означає, що трикутники DNF та KFN є подібними. 2. Оскільки трикутники DNF та KFN є подібними, то відповідні сторони цих трикутників пропорційні. Зокрема, сторона ND відноситься до сторони FK так само, як сторона DN відноситься до сторони FN. Це можна записати у вигляді співвідношення: ND/FK = DN/FN. 3. За властивістю прямокутних трикутників, висота, проведена до гіпотенузи, розбиває його на два подібні трикутники. Отже, сторона DN відноситься до сторони FN так само, як сторона FN відноситься до сторони NK. Це можна записати у вигляді співвідношення: DN/FN = FN/NK. 4. Об'єднавши отримані співвідношення, ми отримуємо: ND/FK = FN/NK. 5. За властивістю трикутників, які мають однакові кути, відповідні сторони цих трикутників пропорційні. Оскільки кути DNF та KFN дорівнюють один одному, то сторона FN відноситься до сторони NK так само, як сторона ND відноситься до сторони FK. Це можна записати у вигляді співвідношення: FN/NK = ND/FK. 6. Оскільки ми отримали два однакових співвідношення (ND/FK = FN/NK та ND/FK = FN/NK), то ми можемо стверджувати, що ND/FK = FN/NK = 1. Це означає, що ND = FK.

Таким чином, ми довели, що ND дорівнює FK.