Question

Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 30º, сума гіпотенузи і меншого з катетів дорівнює 60 см. Знайти гіпотенузу трикутника.​

Answer 1

Ответ:

20 см.

Объяснение:

Answer 2

Давайте позначимо дані:

1. Нехай \( \angle A \) - це прямий кут (90 градусів). 2. Нехай \( \angle B \) - це кут, який дорівнює 30 градусів. 3. Нехай \( \angle C \) - це залишковий кут (інший кут прямокутного трикутника).

Також, нехай \( a \) і \( b \) - катети прямокутного трикутника, а \( c \) - гіпотенуза.

За умовою задачі, відомо, що:

1. \( \angle B = 30^\circ \). 2. \( a + c = 60 \) см.

Тепер ми можемо використати властивості трикутників для знаходження інших значень.

Оскільки сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180 градусів, ми можемо знайти \( \angle C \):

\[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \] \[ \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ \] \[ \angle C = 60^\circ \]

Таким чином, у нас є трикутник з кутами \( 90^\circ, 30^\circ \) і \( 60^\circ \).

Ми знаємо, що в прямокутному трикутнику сума всіх кутів дорівнює 180 градусів, тому:

\[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \] \[ 60^\circ = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ \]

Тепер ми можемо знайти гіпотенузу, використовуючи теорему синусів, яка виглядає наступним чином:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

У нашому випадку, ми шукаємо гіпотенузу \( c \), і ми вже знаємо \( \angle A \) і \( \angle C \):

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]

Підставимо відомі значення:

\[ \frac{a}{\sin 90^\circ} = \frac{c}{\sin 60^\circ} \]

Оскільки \( \sin 90^\circ = 1 \) і \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), отримаємо:

\[ \frac{a}{1} = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Спростимо рівняння:

\[ a = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ a = \frac{2c}{\sqrt{3}} \]

Тепер врахуємо друге рівняння, яке нам дано в умові задачі:

\[ a + c = 60 \]

Підставимо вираз для \( a \) і вирішимо рівняння відносно \( c \):

\[ \frac{2c}{\sqrt{3}} + c = 60 \]

Спростимо рівняння, помноживши обидві сторони на \( \sqrt{3} \):

\[ 2c + c\sqrt{3} = 60\sqrt{3} \]

\[ c(2 + \sqrt{3}) = 60\sqrt{3} \]

\[ c = \frac{60\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \]

Тепер спростимо це рівняння, помноживши верх і низ на \( 2 - \sqrt{3} \) (спряжена величина до \( 2 + \sqrt{3} \)):

\[ c = \frac{60\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} \]

\[ c = \frac{60\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} \]

\[ c = \frac{60\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{1} \]

\[ c = 60\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) \]

Таким чином, гіпотенуза трикутника дорівнює \( 60\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) \) см.